Ukł. równ. różniczkowych linioych, Równania różniczkowe

[ Pobierz całość w formacie PDF ]
//-->Analiza matematyczna/Układy równańróżniczkowych/Przykład 1.1Dany jest układ równań:x′(t) =−3x+ 4y−2zy′(t) =x+z′z(t) = 6x−6y + 5z−441−16−6    −2u1·u2=14u3co ostatecznie daje układ równań:−4u1+ 4u2−2u3= 0W zapisie macierzowymX′=A·Xpowyższy układu−u2+u3= 0wygląda następująco:1  ′ 6u1−6u2+ 4u3= 0−34−2xxDo pierwszego równania dodamy 4 razy drugie równa-y′=11·ynie. Otrzymamy wówczasu3= 0. Podstawiając tę war-6−65zz′tość do równania drugiego, otrzymamy, żeu1=u2=sJest to układ równań liniowych jednorodny z trzema nie-, gdziesjest dowolnym parametrem. Podsumowując,wiadomymi funkcjamix(t),y(t)orazz(t), zależnymiotrzymujemy:od jednej zmiennej niezależnejt.u=sRozwiązanie tego układu zaczniemy od znalezienia war-1u=stości własnychλmacierzy współczynnikówA:2u3= 0det[A−λI]= 0co w zapisie wektorowym wygląda następująco:−3 −λ4−2  s1−λ1=det1Uλ1=1=s=s16−65−λ= (−3−λ)(−λ)(5−λ)+ 4·1·6 + (−6)·1·(−2)()−(−2)(−λ)·6 + (−6)·1·(−3−λ)+ 1·4(5−λ)=1.2 Drugaszukanywyznacznikmacierzy ma postać:=−λ3+ 2λ2+λ−2Zatem rozwiązaniem równania:−λ3+ 2λ2+λ−2 = 0są liczbyλ1= 1,λ2=−1orazλ3= 2Szukamy wektora własnegoCodpowiadających rzeczy-wistej 1-krotnej wartości własnejλ2=−1.[A−λ2I]·C= 0zatem:−3 −λ216następnie:−24116−64−λ2−6    −2u11·u2=5−λ2u31 Rzeczywiste wartości własne1.1Pierwsza    −2u11·u2=6u3Szukamy wektora własnegoCodpowiadającego rzeczy- co ostatecznie daje układ równań:wistej 1-krotnej wartości własnejλ1= 1.−2u1+ 4u2−2u3= 0[A−λ1I]·C= 0u+u2+u3= 01zatem:6u1−6u2+ 6u3= 0    −3 −λ4−2u1Od trzeciego równania 6 razy odejmujemy drugie, skąd1·u2=−λ1otrzymujemyu2= 0, a następnie – podstawiając tę war-6−65−λu3tość do pierwszego lub drugiego równania – otrzymujemynastępnie:1zależnośću1=−u3=s, gdziesjest dowolnym para-21 RZECZYWISTE WARTOŚCI WŁASNEmetrem. Podsumowując powyższe obliczenia, otrzymu- miało postać:t  jemy:ee−tC12t ete=·C2u1=s−e−t2e2tC3u2= 0Po nieznacznej modyfikacji opisywanego układu równańu3=−sotrzymujemy równanie niejednorodne postaci:co wektorowo zapiszemy jako:  x′(t) =−3x+ 4y−2z + 1s1y′(t) =x+z+t−1Uλ2=−1==s′z(t) = 6x−6y + 5z−t−s−1co w postaci macierzowej zapiszemy jako:′   x(t)−34−2x1y′(t)=11y+t−1z′(t)6−65z−t1.3TrzeciaSzukamy wektorów własnychCodpowiadających rze-Znając ogólne rozwiązanie układu jednorodnego, za po-czywistej 1-krotnej wartości własnejλ3= 2.mocą metody uzmienniania stałych obliczymy rozwiąza-[A−λ3I]·C= 0nie szczególne układu jednorodnego: −ttzatem:xee    yu1−3 −λ34−2=C1(t)et+C2(t)+C3(t)e2t1−λ31·u2=zSN−e−t2e2tu36−65−λ3Musimy zatem rozwiązać równanie macierzowe zawiera-następnie:jące macierz Wrońskiego:    t ′ u1−54−2ee−t1C1(t)1−21·u2=′ete2t·C2(t)=t−1′u36−63−e−t2e2tC3(t)−tco ostatecznie daje układ równań:które sprowadza się do układu trzech prostszych równań:′′−5u1+ 4u2−2u3= 0C1(t)et+C2(t)e−t= 1′u−2u2+u3= 0C′(t)et+C3(t)e2t=t−111′′6u1−6u2+ 3u3= 0−C2(t)e−t+ 2C3(t)e2t=−tOd trzeciego równania odejmujemy 3 razy równanie dru- z których wyznaczymy wartości:gie, co daje namu1= 0. Następnie podstawiając tę′wartość do któregokolwiek z trzech równań, otrzymuje-C1(t) =...′1my zależnośću2=2u3=s, gdziesjest dowolnymC2(t) =...′parametrem. Podsumowując powyższe obliczenia, otrzy-C3(t) =...mujemy:a następnie:u1= 0C1(t) =...u2=sC(t) =...2u3= 2sC3(t) =...co wektorowo zapiszemy jako:Na koniec skorzystamy ze wzoru znanego z równań róż-  niczkowych liniowych:s=s1Uλ3=2=XON=XOJ+XSN2s2Ostatecznie rozwiązanie ogólne układu jednorodnego ma Znając rozwiązanie ogólne równania, możemy przejść dorozwiązania problemu Cauchy'ego.postać:  11x(t)1et+C2e−t+y(t)=C1XOJ=−1z(t)OJ 1e2t=C32co w zapisie zawierającym macierz Wrońskiego będzie32 Text and image sources, contributors, and licenses2.1Text•Analiza matematyczna/Układy równań różniczkowych/Przykład 1.1Źródło:https://pl.wikibooks.org/wiki/Analiza_matematyczna/Uk%C5%82ady_r%C3%B3wna%C5%84_r%C3%B3%C5%BCniczkowych/Przyk%C5%82ad_1.1?oldid=199088Autorzy:Sblive,DrJolo, Lethern, Fizykaa, Alessia, Pavroo, Karol Karolus oraz Anonimowy: 52.22.3ImagesContent license•Creative Commons Attribution-Share Alike 3.0Analiza matematyczna/Układy równańróżniczkowych/Przykład 2.1zatem[] [ ] [ ]−5 −λ1−2v·1=1−7 −λ1v2[] [ ] [ ]−5+ 6−i−2v·1=W zapisie macierzowymX′=A·Xpowyższy układ1−7+ 6−iv2wygląda następująco:[] [ ] [ ]] [ ][′] [2−2i−4v−5 −2xx·1==·2−2 −2iv2y′1−7yco ostatecznie daje układ równań:Jest to układ równań liniowych jednorodny z dwiema nie-{wiadomymi funkcjamix(t)orazy(t), zależnymi od jed-(2−2i)v1−4v2= 0nej zmiennej niezależnejt.2v1+ (−2−2i)v2= 0Rozwiązanie tego układu zaczniemy od znalezienia war- Bliżej zajmiemy się pierwszym równaniem. Niechv=s2tości własnychλmacierzy współczynnikówA:będzie dowolnym parametrem. Wyznaczymy zatem war-det[A−λI]= 0[]−5 −λ−2det=1−7 −λ= (−5−λ)(−7−λ)−(−2) == 35 + 5λ + 7λ +λ2+ 2 =∆ = 144−148 =−4√∆ =±2iλ1=λ2=−12+2i2−12−2i2Dany jest układ równań:{x′(t) =−5x −2yy′(t) =x−7ytośćv1w zależności od parametrus.(2−2i)v1−4s = 0v1=4s2−2i=2s1−iMnożąc licznik i mianownik przez liczbę sprzężoną domianownika otrzymujemy:v1=2s1−i·1+i1+i=2s(1+i)1+1=s(1+i)=−6+i=−6 −iOstatecznie otrzymujemy:{v1=s(1+i)v2=sZnając wektor własny odpowiadający wartościom wła-snymλ1, λ2[]1+iV=s1szukanywyznacznikmacierzy ma postać:=λ2+ 12λ + 37Zatem rozwiązaniemrównania kwadratowegoλ2+ 12λ + 37 = 0możemy wyznaczyć rozwiązanie ogólne układu jedno-jest sprzężona para liczb zespolonychλ1=−6+ioraz rodnego:[]λ2=−6 −i1+iXOJ=s·e(−6+i)t1Wzór Euleraeiφ=cosφ+isinφ1 Zespolone wartości własneKorzystając zewzoru Eulera,otrzymamy:[]Szukamy wektorów własnychVodpowiadających zespo-1+i·(cost+isint)e−6t=lonej 1-krotnej wartości własnejλ1=−6+iwraz z=s1wartością sprzężoną do niejλ2=−6 −i.[]cost+isint+icost−sint·e−6t=W poniższych obliczeniach możemy pominąć sprzężoną=scost+isintwartość własnąλ2=−6 −ibez żadnych negatywnychW pierwszym wierszu grupujemy części rzeczywiste orazskutków dla wyniku ostatecznego.urojone[A−λ1I]·V= 012[]−sint+cost+i(sin t+cost)=s·e−6tcost+isintOstateczny wynik otrzymujemy, rozkładając ww. wek-tor na sumę dwóch wektorów zawierających odpowied-nio części rzeczywiste oraz urojone (jednostka urojonaizostała włączona do stałejC2).( [][])−sint+costsint+costXOJ=C1+C2e−6tcostsintW postaci macierzy Wrońskiego otrzymujemy następu-jące rozwiązanie:[][ ]−sint+costsint+cost C1−6tXOJ=ecostsintC2Dla pewności możemy sprawdzić, czyW(t)̸= 0.[]−sint+costsint+costW(t) =det=...costsint1ZESPOLONE WARTOŚCI WŁASNE [ Pobierz całość w formacie PDF ]

  • zanotowane.pl
  • doc.pisz.pl
  • pdf.pisz.pl
  • emaginacja.xlx.pl

    •