Uklady równan liniowych, SZKOŁA, Matematyka, Matematyka

[ Pobierz całość w formacie PDF ]
Ukladyrówna«liniowych
mgrZofiaMakara
21marca2004
1Ukladyrówna«liniowych
Niechb¦dziedanyukładrówna«owszystkichwspółczynnikachizmiennych
zokre±lonegociała
K
:
8
>
<
a
11
x
1
+
...
+
a
1
n
x
n
=
b
1
..
a
m
1
x
1
+
...
+
a
mn
x
n
=
b
m
>
:
mo»emyrównie»zapisa¢wpostaci:
2
6
4
3
7
5
·
2
6
4
x
1
..
x
m
3
7
5
=
2
6
4
b
1
..
b
m
3
7
5
Definicja1
Macierzkwadratow¡Anazywasi¦:
•
osobliw¡,je»eli
det
A
=0
;
•
nieosobliw¡,je»eli
det
A
6
=0
Definicja2
UkłademCrameranazywasi¦układrówna«liniowych,którego
macierzwspółczynnikówAjestkwadratow¡macierz¡nieosobliw¡.
Definicja3
Macierz¡uzupełnion¡macierzyAdanegoukładunazywasi¦
macierz,któramadodatkow¡kolumn¦-kolumn¦wyrazówwolnych.
Macierzuzupełnion¡oznaczasi¦jako
U
=[
A
|
b
].
Twierdzenia1
UkładCrameramadokładniejednorozwi¡zanie
(
x
1
,...,x
n
)
danewzorem:
x
j
=
dA
j
dA
,
gdziedA
=[
a
kj
]
n
×
n
jestwyznacznikiemmacierzyAdanegoukładuza±dA
j
jestwyznacznikiemmacierzy,wktórejkolumnajzostałazast¡pionakolumn¡
wyrazówwolnych.
1
a
11
...a
1
n
..
a
m
1
...a
mn
Własno±¢1
Je»eliwszystkiewspółczynnikiwolnewukładzieCramerarów-
nes¡
0
,wówczasukładnazywasi¦jednorodnymimajednorozwi¡zanie-
(0
,
0
,...,
0)
.
Definicja4
Rz¦demmacierzynazywasi¦ilo±¢jejwektorówliniowonieza-
le»nych.
Mo»namówi¢o:
•
rz¦dziewierszowym-maksymalnaliczbaniezale»nychwierszydanej
macierzy;
•
rz¦dziekolumnowym-maksymalnaliczbaniezale»nychkolumndanej
macierzy;
Rz¡dwierszowyikolumnowydanejmacierzys¡równe.
Rz¡dmacierzymo»nawyznaczy¢przezwyszukanieminorastopnia
n
danej
macierzyró»negoodzera,dlaktóregonieistniejminortejmacierzystopnia
wy»szegoni»
n
.Wówczas
n
jestrz¦demmacierzy.
Dladanegoukładumo»nazastoswa¢kryteriumzgodno±ciKroneckera-Cap-
peliego,tojest,je±li:
•
rz¡dmacierzy
A
jestrównyrz¦dowimacierzyuzupełnionej
U
=[
A
|
b
]
(układjestzgodny
rzA
=
rzU
),wówczasukładposiadarozwi¡za-
nia.Ponadto,je±lirz¡dmacierzyjestrównyilo±ciniewiadomych,wów-
czasmadokładniejednorozwi¡zanie,wprzeciwnymprzypadku(rz¡d
macierzyjestmniejszyni»ilo±¢niewiadomychwrównaniu),wówczas
układmaniesko«czenierozwi¡za«(układnieoznaczony).
•
rz¡dmacierzy
A
jestró»nyodrz¦dumacierzyuzupełnionej
U
=[
A
|
b
]
(układjestsprzeczny),wówczasukładnieposiadarozwi¡zania.
Inn¡metod¡rozwi¡zywaniakwadatowegoukładurówna«jestmetoda
eliminacjiGauss’a,wktórejstosuj¡cprzekształceniamacierzyrozszerzonej
[
A
|
b
]danegoukładu:
•
przestawieniedwóchwierszy(równa«wukładzie);
•
pomno»eniuprzezdowoln¡liczb¦(ró»n¡odzero);
•
dodanie/odj¦cieodsiebiedwóchwierszy(równa«wukładzie);
doprowadzasi¦macierz
A
(wsko«czonejilo±cikroków)domacierzydiago-
nalnej.
Uwaga1
Wkwadratowymukładzierówna«wmacierzyAnadiagonalii
mo»ewyst¡pi¢
0
,za±wkolumniewyrazówwolnychelementró»nyod
0
,wów-
czasukładniemarozwi¡zania.
2
Uwaga2
Je»eliwkwadratowymukładzierówna«wjegomacierzyAna
diagonaliiiwkolumniewyrazówwolnychwyst¡pi
0
,wówczasukładposiada
niesko«czeniewielerozwi¡za«.
Uwaga3
Eliminacj¦Gauss’amo»narównie»stosowa¢doprostok¡tnych
układówrówna«.
Uwaga4
Eliminacj¦Gauss’amo»narównie»stosowa¢wyznaczaniamacie-
rzyodwrotnej.
Łatwozauwa»y¢,»edladanegoukładumacierzowego
AX
=
I
mo»nadoko-
na¢ci¡guprzekształce«pozwalaj¡cegonawyznaczeniemacierzyodwrotnej
A
−
1
.Dokonuj¡ckolejneprzekształceniamo»nawsko«czonejilo±cikroków
(je±limacierz
A
jestkwadratow¡macierz¡nieosobliw¡)otrzyma¢:
•
AX
=
I
;
•
A
1
X
=
B
1
;
•
...
;
•
A
s
X
=
B
s
;
•
IX
=
A
−
1
;
dladowolnego
s
2
N
.
Wpraktyceniezapisujesi¦macierzy
X
,aleprzekształceniaoznaczasi¦jako
[
A
|
I
]˜[
A
1
|
B
1
]˜...[
A
s
|
B
s
]˜[
I
|
A
−
1
].
2Zadania
Rozwi¡»układyrówna«(ipodajilo±¢rozwi¡za«-oileistniej¡,ichmacierze
główneiuzupełnioneorazrz¦dytychmacierzy):
1.
(
3
x
1
+2
x
2
=
−
1
x
1
+
x
2
=2
2.
(
x
1
+2
x
2
=
−
1
2
x
1
+4
x
2
=2
3.
(
x
1
+2
x
2
=
−
1
−
x
1
−
2
x
2
=1
3
4.
(
x
1
+2
x
2
+
x
3
=
−
1
2
x
1
+4
x
2
+2
x
3
=2
5.
8
>
<
x
1
+2
x
2
+
x
3
=
−
1
2
x
1
+4
x
2
+2
x
3
=2
3
x
1
−
x
2
+5
x
3
=2
>
:
6.
8
>
<
x
1
+
x
2
+
x
3
=0
2
x
1
+5
x
2
+3
x
3
=0
3
x
1
−
x
2
+4
x
3
=0
>
:
7.
8
>
<
x
1
+2
x
2
+
x
3
=6
2
x
1
+3
x
2
+3
x
3
=
−
2
3
x
1
+5
x
2
+4
x
3
=4
>
:
8.
8
>
<
x
1
+2
x
2
+
x
3
=6
2
x
1
+3
x
2
+3
x
3
=
−
2
3
x
1
+5
x
2
+4
x
3
=5
>
:
9.
2
3
2
3
2
3
12
−
1
031
−
211
x
1
x
2
x
3
−
1
0
5
6
4
7
5
·
6
4
7
5
=
6
4
7
5
10.
2
6
4
11
−
1
031
140
3
7
5
·
2
6
4
x
1
x
2
x
3
3
7
5
=
2
6
4
−
1
0
−
1
3
7
5
11.
2
3
2
3
2
3
22
−
1
131
481
x
1
x
2
x
3
−
1
0
−
1
6
4
7
5
·
6
4
7
5
=
6
4
7
5
4
12.
2
3
2
3
2
3
2
3
1
2
4
1
−
1
1
2
2
4
−
1
−
4
−
2
6
4
7
5
·
x
+
6
4
7
5
·
y
+
6
4
7
5
·
z
=
6
4
7
5
13.
"
#
"
#
"
#
i
i
1
−
i
0
i
1+
i
·
x
+
·
y
=
14.
"
#
"
#
"
#
"
#
2
3
5
−
8
−
7
5
1
2
·
x
+
·
y
+
·
z
=
5
[ Pobierz całość w formacie PDF ]

  • zanotowane.pl
  • doc.pisz.pl
  • pdf.pisz.pl
  • emaginacja.xlx.pl

    •