uklady-rownan-liniowych, BUDOWNICTWO 1 ST INŻ, Matematyka 1

[ Pobierz całość w formacie PDF ]
Józef Szymczak
UKŁADY RÓWNAŃ LINIOWYCH
(notatki z wykładu)
I.
Ogólna postaĆ układu równaŃ liniowych.
x
x
x
Układem
m
równań liniowych z
n
niewiadomymi
,
,...,
, gdzie
m
,
n
Î
N
, nazywamy układ
n
1
2
równań następującej postaci:
a
x
+
a
x
+
...
+
a
x
b
=
n
n
11
1
12
2
1
1
a
x
+
a
x
+
...
+
a
x
b
=
n
n
2
21
1
22
2
2
(I)
,
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
a
x
+
a
x
+
...
+
a
x
b
=
m
m
mn
n
m
1
1
2
2
a
, są liczbami rzeczywistymi. Wszystkie niewiadome (zmienne)
występują w takim układzie w pierwszej potędze.
Rozwiązaniem układu (I) nazywamy ciąg
w którym współczynniki
ij
b
i
xx
liczb rzeczywistych, które spełniają ten
układ. Jeśli rozwiązanie jest tylko jedno (jeden taki ciąg), to mówimy, że układ jest
oznaczony
; jeśli
rozwiązań jest więcej, to mówimy że układ jest
nieoznaczony
; jeżeli nie ma rozwiązania, to mówimy,
że układ jest
sprzeczny
.
(
x
)
,
,...,
n
1
2
Uwaga. Układ równań liniowych (I) możemy w prosty sposób zapisać w postaci macierzowej.
B
A
×
X
=
,
gdzie
x
b
a
a
...
a
1
1
11
12
1
n
x
b
a
a
...
a
2
2
.
A
21
22
2
n
=
,
X
=
,
B
=
.
.
...
.
4
4
a
a
...
a
x
b
m
1
m
2
mn
n
m
Macierz
A
nazywamy
macierzĄ głównĄ
układu równań liniowych (I), macierz
X
to kolumnowa
macierz niewiadomych
, macierz
B
to kolumnowa
macierz wyrazów wolnych
.
Jeżeli układ równań ma niedużą ilość niewiadomych, to będziemy je najczęściej oznaczać
literami
x, y, z, t
,… .
2
x
+
y
-
3
z
=
1
Przykładowo układ równań:
zapiszemy w następującej postaci macierzowej
x
-
4
y
+
z
-
t
=
2
2
y
+
z
+
t
=
-
1
x
2
1
-
3
0
1
y
.
=
1
-
4
1
-
1
×
2
z
-
1
0
2
1
1
t
II.
Układ równaŃ liniowych Cramera.
Układem Cramera nazywamy układ równań liniowych
A
×
X
=
B
, w którym macierz główna
A
jest macierzą kwadratową nieosobliwą.
W takim układzie mamy zatem tyle samo równań i tyle samo niewiadomych. Układ Cramera ma
dokładnie jedno rozwiązanie. Określone ono jest wzorami Cramera:
det
A
det
A
det
A
x
x
x
n
=
1
,
=
2
,
...
,
=
,
det
A
det
A
n
det
A
1
2
A
dla
gdzie
j
=
1
2
,...,
n
oznacza macierz otrzymaną z macierzy
A
przez zamianę
j
-
tej
kolumny na
kolumnę wyrazów wolnych.
---------------------------------------------------------------------------
Układ Cramera postaci
A
×
X
=
B
możemy też rozwiązać wykorzystując macierz odwrotną do
macierzy głównej
A
, co określa wzór:
-1
---------------------------------------------------------------------------
X
=
A
×
B
Przykład 1. Stosując wzory Cramera rozwiązać układ równań:
2
x
+
y
+
3
z
=
1
2
1
3
.
Zauważmy, że
,
det
A
=
-
8
+
6
-
1
-
4
=
-
7
;
x
-
4
y
+
z
=
2
A
=
1
-
4
1
0
2
1
2
y
+
z
=
0
1
1
3
,
det
A
=
det
A
=
2
-
4
1
=
-
4
+
12
-
2
-
2
=
4
1
x
0
2
1
2
1
3
2
1
1
.
det
A
=
det
A
=
1
2
1
=
4
-
1
=
3
det
A
=
det
A
=
1
-
4
2
=
2
-
8
=
-
6
2
y
3
z
0
0
1
0
2
0
det
A
det
A
det
A
4
4
3
3
-
6
6
y
x
x
z
Stąd
=
=
=
-
,
y
=
=
=
-
,
z
=
=
,
=
det
A
-
7
7
det
A
-
7
7
det
A
-
7
7
2
x
+
y
=
1
Zadanie. Wykorzystując macierz odwrotną, rozwiązać układ równań
x
+
3
y
=
2
III.
Twierdzenie Kroneckera-Capelli’ego
A
B
rozszerzoną (uzupełnioną) macierz, która powstaje z macierzy
A
Oznaczmy symbolem
A
B
układu równań liniowych (I) przez dopisanie do niej kolumny wyrazów wolnych (macierz
ma
więc wymiar
m
´
(
n
+
1
):
a
a
...
a
b
11
12
1
n
1
a
a
...
a
b
21
22
2
n
2
.
A
B
=
.
.
...
.
.
a
a
...
a
b
m
1
m
2
mn
m
Twierdzenie. Warunkiem koniecznym i wystarczającym rozwiązalności układu równań
liniowych (I) jest równość rzędów macierzy
A
i macierzy
A
B
, czyli spełnienie warunku
r
(
A
)
=
r
(
A
B
)
=
r
.
Z powyższego twierdzenia od razu wynika, że jeżeli
r
(
A
)
¹
r
(
A
B
)
, to układ (I) jest sprzeczny
(nie ma rozwiązania).
Przy spełnionym warunku
r
(
A
)
=
r
(
A
B
)
=
r
, mogą jeszcze zachodzić dwa przypadki:
a)
(rząd jest równy liczbie niewiadomych) – wtedy układ jest oznaczony, czyli ma dokładnie
jedno rozwiązanie,
b)
r
=
n
(rząd jest mniejszy niż liczba niewiadomych) – wtedy układ jest nieoznaczony, czyli ma
nieskończenie wiele rozwiązań, które zależą od
r
<
n
parametrów.
n
-
r
Uwaga 1. Zawsze jest
r
(
A
)
£
n
.
Uwaga 2. Jeżeli wszystkie wyrazy wolne w układzie (I) są równe zero, to taki układ nazywamy
jednorodnym
układem równań liniowych.
Układ jednorodny jest zawsze rozwiązalny i może być oznaczony lub nieoznaczony.
W przypadku, gdy jest oznaczony, to ma rozwi
ą
zanie zerowe (
x
=
0
x
=
0
...,
x
=
0
).
n
1
2
IV.
Metoda eliminacji
Metodę eliminacji rozwiązywania układów równań liniowych (metodę eliminacji Gaussa)
omówimy na kilku przykładach. Stosując tę metodę wypisujemy dla danego układu równań liniowych
jego macierz uzupełnioną
A
i przy pomocy przekształceń elementarnych wykonywanych tylko na
wierszach przekształcamy ją tak długo, aż otrzymamy w macierzy
A
pewien maksymalny minor
jednostkowy. Po wykonaniu tych przekształceń otrzymana macierz reprezentuje układ równań
równowa
ż
ny układowi wyj
ś
ciowemu i mo
ż
emy z jej postaci odczyta
ć
rozwi
ą
zanie lub stwierdzi
ć
,
ż
e
dany układ jest sprzeczny.
2
x
-
3
y
+
z
+
2
u
=
1
Przykład 2. Rozwiązać metodą eliminacji następujący układ równań:
.
x
+
2
y
-
3
z
+
u
=
2
3
x
-
y
-
z
+
2
u
=
4
Wypisujemy
macierz
uzupełnioną
tego
układu
i
będziemy
ją
przekształcać,
stosując
przekształcenia elementarne wykonywane na wierszach.
2
-
3
1
2
1
1
-
5
4
1
-
1
1
-
5
4
1
-
1
1
-
5
4
1
-
1
1
2
-
3
1
2
»
1
2
-
3
1
2
»
0
7
-
7
0
3
»
0
7
-
7
0
3
»
3
-
1
-
1
2
4
3
-
1
-
1
2
4
0
14
-
13
-
1
7
0
0
1
-
1
1
1
(w
-
w
)
(w
-
w
w
w
(
-
3))
(w
w
(
-2
))
(w
)
,
+
+
×
1
2
2
1
3
1
3
2
2
8
15
1
-
5
4
1
-
1
1
0
-
1
1
1
0
0
0
3
3
10
»
0
1
-
1
0
»
0
1
-
1
0
0
1
0
-
1
0
0
1
-
1
1
0
0
1
-
1
1
0
0
1
-
1
1
(w
w
×
5)
(w
w
w
w
)
,
+
+
+
1
2
1
3
2
3
W tej ostatniej macierzy mamy już pewien minor jednostkowy (tworzą go pierwsze trzy
kolumny), więc na tym przekształcanie kończymy. Ale jednocześnie widzimy, że rząd macierzy
głównej
A
jest równy 3, rząd macierzy uzupełnionej
A
jest też równy 3, zatem omawiany układ
równań jest rozwiązalny. Ma on 4 niewiadome, a więc jest układem nieoznaczonym mającym
nieskończenie wiele rozwiązań zależnych od jednego parametru (tutaj
n
-
r
=
1
).
Zauważmy, że ostatnia macierz, jako równoważna poprzednim, reprezentuje następujący układ
równań liniowych
15
x
=
7
10
,
y
-
u
=
7
z
-
u
=
1
który jest równoważny układowi wyjściowemu, czyli ma taki sam zbiór rozwiązań. Mamy tutaj jedną
nadmiarową niewiadomą, której współczynniki nie wchodzą w skład minora jednostkowego – jest nią
niewiadoma
u
. Oznaczymy ją symbolem α , który będzie stanowił rzeczywisty parametr. Możemy
zatem napisać zbiór rozwiązań w następującej postaci:
15
x
=
15
x
7
10
+
α
10
y
=
y
+
α
7
lub też w postaci:
,
gdzie
α
Î
R.
X
=
=
z
1
+
α
α
z
=
1
+
u
α
α,
α
u
=
Î
R,
Jest tych rozwiązań nieskończenie wiele i zależą one od jednego parametru α . Sprawdzić poprawność
obliczeń podstawiając otrzymane rozwiązania do wyjściowego układu równań.
x
-
3
y
+
z
=
3
Przykład 3. Rozwiązać metodą eliminacji następujący układ równań:
.
x
+
2
y
-
3
z
=
2
2
x
-
y
-
2
z
=
5
Po wypisaniu macierzy uzupełnionej i przekształceniach elementarnych na niej wykonanych,
otrzymamy:
1
-
3
1
3
1
-
3
1
3
1
-
3
1
3
-
11
1
-
3
1
3
1
0
1
2
-
3
2
»
0
5
-
4
-
1
»
0
5
-
4
-
1
»
»
-
1
-
1
0
1
0
1
2
-
1
-
2
5
0
5
-
4
-
1
0
0
0
0
-
4
1
w
-
w
w
w
(-2)
w
-
w
w
w
-
w
(
)
+
,
×
2
1
3
1
3
2
2
1
2
W ostatniej macierzy mamy minor jednostkowy stopnia drugiego (pierwsza i trzecia kolumna)
skąd wynika, że
Ar
. Ponieważ są 3 niewiadome w rozwiązywanym układzie, więc ma
on nieskończenie wiele rozwiązań zależnych od jednego parametru (układ nieoznaczony).
Nadmiarową zmienną jest tutaj
y
, więc oznaczymy ją symbolem α określającym parametr
rzeczywisty. Mamy więc zbiór rozwiązań odczytanych z ostatniej przekształconej macierzy:
(
)
=
r
(
A
B
)
=
2
11
+
7
α
x
=
4
4
α
y
=
1
5
z
=
+
α,
α
Î
R.
4
4
x
-
2
y
+
z
=
0
Przykład 4. Rozwiązać jednorodny układ równań liniowych:
.
2
x
+
y
+
3
z
=
0
x
+
3
y
+
2
z
=
0
1
-
2
1
Zauważmy, że macierz główna tego układu
A
ma wyznacznik równy 0. Układ
=
2
1
3
1
3
2
równań jest zatem nieoznaczony czyli ma nieskończenie wiele rozwiązań (gdyby wyznacznik
macierzy głównej był niezerowy, układ byłby oznaczony i miałby tylko jedno rozwiązanie zerowe).
Po wypisaniu macierzy rozszerzonej i przekształceniach elementarnych na niej wykonanych,
otrzymamy:
1
-
2
1
0
1
-
2
1
0
1
-
2
1
0
1
-
7
0
0
»
»
»
2
1
3
0
0
5
1
0
0
5
1
0
0
5
1
0
1
3
2
0
0
5
1
0
0
0
0
0
w
w
w
w
w
-
w
w
w
+
(-2)
-
,
-
2
1
3
1
3
2
1
2
i z kształtu ostatniej macierzy możemy odczytać rozwiązania, przyjmując jako parametr α
nadmiarową niewiadomą
y
:
x
=
7α
y
=
α
z
=
-
5
α,
α
Î
R
(wśród tych nieskończenie wielu rozwiązań jest też rozwiązanie zerowe).
Zadanie. Zbadać rozwiązalność układu równań w zależności od parametru
p
.
x
-
y
-
2
z
=
0
px
+
y
+
z
=
2
x
+
py
=
2
p
1
-
1
-
2
2
2
Zauważmy, że
det
A
=
-
1
-
2
p
+
2
-
p
=
-
2
p
-
p
+
1
.
=
p
1
1
1
p
0
1
2
det
A
=
0
jeżeli
-
2
p
-
p
+
1
=
0
czyli jeśli
p
=
-
1
lub
p
=
. Zatem w przypadku, gdy
p
¹
-
1
i
2
1
p
¹
, układ jest układem Cramera czyli ma dokładnie jedno rozwiązanie.
Sprawdźmy rozwiązalność tego układu w przypadku, gdy
2
p
=
-
1
. Mamy wtedy
1
-
1
-
2
0
1
-
1
-
2
0
1
-
1
-
2
0
»
»
-
1
1
1
2
0
0
-
2
0
0
-
2
1
-
1
0
-
2
0
0
2
-
2
0
0
0
2
w
+
w
w
-
w
w
w
2
,
+
×
2
1
3
1
3
2
Ponieważ trzeci wiersz końcowej przekształconej macierzy reprezentuje równanie sprzeczne, zatem w
przypadku gdy
p
, układ równań jest sprzeczny.
Sprawdźmy rozwiązalność tego układu w przypadku, gdy
=
-
1
1
p
=
. Mamy wtedy
2
1
-
1
-
2
0
1
-
1
-
2
0
1
-
1
-
2
0
1
-
1
-
2
0
1
»
»
»
1
1
2
1
2
2
4
0
3
4
4
0
3
4
4
2
1
1
2
1
0
2
0
3
4
2
0
0
0
-
2
1
0
2
w
w
w
w
w
w
w
w
×
2
×
2
-
,
2
,
-
-
2
3
2
1
3
1
3
2
1
Ostatni wiersz końcowej macierzy znów nas informuje, że układ równań przy
p
=
jest sprzeczny.
2
[ Pobierz całość w formacie PDF ]

  • zanotowane.pl
  • doc.pisz.pl
  • pdf.pisz.pl
  • emaginacja.xlx.pl

    •