układy równań, iś pw, semestr I, Matematyka I

[ Pobierz całość w formacie PDF ]
34Równaniamacierzowe
Przykład63Rozwi¡za¢równaniemacierzowe
1 0
2−1
2 0
4−6
·X=
Oznaczmy:
1 0
2−1
2 0
4−6
A=
B=
.
Naszerównaniematerazposta¢:
A·X=B
Rozwi¡zanierównania,czyliwyliczenieniewiadomejmacierzyX,poleganapomno»eniurów-
nanialewostronnieprzezA
−1
,oiletakaistnieje:
A
−1
/ AX=B
A
−1
AX=A
−1
B
IX=A
−1
B
X=A
−1
B
PozostajewyznaczeniemacierzyodwrotnejA
−1
,anast¦pniewykonaniemno»eniaA
−1
·B.
Zewzorunamacierzodwrotn¡
−10
−21
1 0
2−1
A
−1
=
1
−1
=
Terazmo»emywykona¢mno»enie
1 0
2−1
2 0
4−6
20
06
X=A
−1
·B=
·
=
Przykład64Rozwi¡za¢równaniemacierzowe
21
10
01
21
0 1
1−1
20
11
·X·
−
=
Sprowadzamyrównaniedonajprostszejpostaci:
21
10
01
21
0 1
1−1
20
11
·X·
=
+
21
10
01
21
21
20
·X·
=
Oznaczmy:
21
10
01
21
21
20
A=
B=
C=
Naszerównaniematerazposta¢:
A·X·B=C
Rozwi¡zanierównania,czyliwyliczenieniewiadomejmacierzyX,poleganapomno»eniurów-
nanialewostronnieprzezA
−1
iprawostronnieprzezB
−1
A
−1
/ AXB=C /B
−1
A
−1
AXBB
−1
=A
−1
CB
−1
IXI=A
−1
CB
−1
X=A
−1
CB
−1
PozostajewyznaczeniemacierzyodwrotnychA
−1
iB
−1
,anast¦pniewykonaniemno»enia
A
−1
·C·B
−1
Zewzorunamacierzodwrotn¡
0−1
−1 2
0 1
1−2
A
−1
=
1
−1
=
1−1
−2 0
−
1
2
1
2
10
B
−1
=
1
−2
=
Terazmo»emywykona¢mno»enie
X=A
−1
·C·B
−1
=
0 1
1−2
21
20
−
1
2
1
2
10
20
−21
−
1
2
1
2
10
−1 1
2−1
=
·
·
=
·
=
Wniosek:SzukanamacierzXokre±lonajestwzorem
−1 1
2−1
X=
.
Podobnierozwi¡zujemytrzecitypsprowadzonychdonajprostszejpostacirówna«macierzo-
wych:
XB=C
XB=C /B
−1
XBB
−1
=CB
−1
XI=CB
−1
X=CB
−1
35Układyrówna«liniowych
Definicja65Układemmrówna«liniowychznniewiadomyminazywamyukładrówna«po-
staci:
8
>
>
>
<
a
11
x
1
+a
12
x
2
+...+a
1n
x
n
=b
1
a
21
x
1
+a
22
x
2
+...+a
2n
x
n
=b
2
.
.
. +
.
.
. +···+
.
.
. =
.
.
.
a
m1
x
1
+a
m2
x
2
+...+a
mn
x
n
=b
m
, (1)
>
>
>
:
2
gdziea
ij
,b
i
s¡dowolnymiliczbamirzeczywistymi.Liczbya
ij
nazywasi¦współczynnikami
układu,aliczbyb
i
—wyrazamiwolnymi.
Układ(1)mo»nazapisa¢wpostacimacierzowej:A·X=B,gdzie
2
3
2
3
2
3
a
11
a
12
...a
1n
a
21
a
22
...a
2n
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
a
m1
a
m2
...a
mn
x
1
x
2
.
.
.
x
n
b
1
b
2
.
.
.
b
m
6
6
6
4
7
7
7
5
6
6
6
4
7
7
7
5
6
6
6
4
7
7
7
5
A=
,X=
,B=
MacierzAnazywamymacierz¡współczynnikówukładu(1).
Układowirówna«liniowych(1)mo»nate»przyporz¡dkowa¢macierzrozszerzon¡układu:
2
3
a
11
a
12
...a
1n
a
21
a
22
...a
2n
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
a
m1
a
m2
...a
mn
b
1
b
2
.
.
.
b
m
6
6
6
4
7
7
7
5
˜
A=
.
Definicja661.Je±liukładrówna«niemarozwi¡za«,tonazywasi¦gosprzecznym.
2.Je±liukładmadokładniejednorozwi¡zanie,tonazywasi¦gooznaczonym.
3.Je±liukładmaniesko«czeniewielerozwi¡za«,tonazywasi¦gonieoznaczonym.
4.Dwaukładyrówna«,któremaj¡tensamzbiórrozwi¡za«nazywamyrównowa»nymi.
5.Wprzypadkuukładunieoznaczonegoposzczególnerozwi¡zanianazywamyrozwi¡zaniami
szczegółowymi,azbiórwszystkichrozwi¡za«rozwi¡zaniemogólnym.
36UkładyCramera
Definicja67Je±limacierzwspółczynnikówukładu(1)jestnieosobliw¡macierz¡kwadratow¡,
toukładnazywamyukłademCramera.
NiechW=detA,przezW
k
oznaczmywyznacznikmacierzypowstałejprzezzamian¦k–tej
kolumnywmacierzyAnakolumn¦B.
Twierdzenie68UkładCrameraA·X=Bposiadadokładniejednorozwi¡zanie(jesttoukład
oznaczony):
8
>
>
>
<
x
1
=
W
1
W
x
2
=
W
2
W
.
.
.
x
n
=
W
n
W
(wzoryCramera).
>
>
>
:
Przykład69Układdwóchrówna«liniowychzdwiemaniewiadomymi
2x−3y=−4
5x+7y=1
3
=14+15=296=0
2−3
5 7
W=
Wniosek:układrówna«jestukłademCramera,madokładniejednorozwi¡zanie.
=−25 W
y
=
=22
−4−3
1 7
2−4
5 1
W
x
=
Stosuj¡cwzoryCrameraotrzymujemyrozwi¡zanie
(
x=
W
x
W
=−
25
29
y=
W
y
W
=
22
29
Uwaga:układmadokładniejednorozwi¡zanie,którejestpar¡liczb.
37MetodaeliminacjiGaussa–Jordana
Definicja70Niech
˜
Ab¦dziemacierz¡rozszerzon¡dowolnegoukładurówna«liniowych.Ope-
racj¡elementarn¡nawierszachmacierzynazywamyka»d¡ztrzechoperacji:
1.zamianamiejscamidwóchwierszy,
2.pomno»eniedowolnegowierszaprzezstał¡ró»n¡odzera,
3.dodaniedodowolnegowierszainnegowierszapomno»onegoprzezstał¡.
Twierdzenie71Operacjeelementarnenawierszachmacierzyrozszerzonejukładurówna«li-
niowychniezmieniaj¡zbiorurozwi¡za«układu,tzn.podokonaniuoperacjielementarnejotrzy-
mujemymacierzrozszerzon¡układurównowa»negozwyj±ciowym.
Twierdzenie72Dowolnyukładrówna«liniowychmo»eby¢sprowadzonyzapomoc¡prze-
kształce«elementarnychizamian¦kolejno±cizmiennychdotzw.postacischodkowej,tzn.do
układupostaci(powykre±leniurówna«0=0):
8
>
>
>
<
a
11
x
1
+a
12
x
2
+...+a
1k
x
k
+...+a
1n
x
n
=b
1
a
22
x
2
+...+a
2k
x
k
+...+a
2n
x
n
=b
2
.
.
.
.
.
. =
.
.
.
a
kk
x
k
+...+a
mn
x
n
=b
m
>
>
>
:
Zmiennex
k+1
,...,x
n
nazywamyswobodnymi.
Przykład73Układrówna«
8
<
x−2y−z=−1
−3y+z=5
2z=4
:
jestwpostacischodkowej.Rozwi¡zujemygopost¦puj¡cwkolejno±ciodostatniegorównania,
zktóregowynika,»ez=2.Podstawiaj¡ct¦warto±¢dokolejnegorównaniaotrzymujemy
−3y+2=5,wi¦cy=−1.Otrzymanewarto±ciwstawiamydokolejnegorównania:x−2·
(−1)−2=−1,sk¡dotrzymujemyx=−1.Ostatecznierozwi¡zaniemukładurówna«jest
8
<
x=−1
y=−1
z=2
.
:
4
38Układoznaczonylubsprzeczny
Przykład74Rozwi¡za¢układrówna«
8
<
x+y−z=−2
2x+3y+z=1
−3x+2y−z=−7
.
:
Dokonujemyoperacjielementarnychnamacierzyrozszerzonej:
2
3
2
3
11−1
23 1
−32−1
−2
1
−7
11−1
01 3
05−4
−2
5
−13
4
5
−2w
1
+3w
1
4
5
−5w
2
2
3
11−1
01 3
00−19
−2
5
−38
4
5
Nast¦pniezapisujemyotrzymanyukładwpostacischodkowej:
8
<
x+y−z=−2
y+3z= 5
−19z=−38
:
Rozwi¡zaniemukładujest
8
<
x=1
y=−1
z=2
.
:
39Układnieoznaczony
Przykład75Rozwi¡za¢układrówna«
x−2y=3
−2x+4y=−6
.
1−2
−2 4
1−2
0 0
3
−6
3
0
+2w
1
Układrówna«redukujesi¦dojednegorównaniax−2y=3,którerozwi¡zujemypoprzez
wprowadzenieparametruzazmienn¡y(jesttozmiennaswobodna).Niechy=a,gdziea2
R
jestdowoln¡stał¡.Wówczasx=2a+3.Rozwi¡zanieogólneukładujestwi¦cnast¦puj¡ce:
x=2a+3
y=a, a2
R
.
Układrówna«mawi¦cniesko«czonyzbiórrozwi¡za«zktórychka»demo»nauzyska¢poprzez
podstawieniepewnejwarto±ciliczbowejzaparametrawpowy»szymwzorze.
5
[ Pobierz całość w formacie PDF ]

  • zanotowane.pl
  • doc.pisz.pl
  • pdf.pisz.pl
  • emaginacja.xlx.pl

    •