UTF-8''EKON.Zast. Mat.Wykład 9, 1 rok, I semestr 1 rok, Zastosowanie matematyki - wykład

[ Pobierz całość w formacie PDF ]
//-->Zastosowania matematyki w ekonomii 2014. Wykład 9.R.RempałaWykład 9. Pochodne wyższych rzędów. Funkcje wypukłe iwklęsłe. Badanie funkcji za pomocą drugiej pochodnejI. Pochodne wyższych rzędówI 1. Definicje i oznaczeniaDefinicja 1.Jeżeli funkcja f ma w przedziale X R pochodną f , topochodna f może mieć w punkcie x, tego przedziału, swoją pochodną,którą nazywamy drugą pochodna funkcji f w punkcie x ( drugąpochodną oznaczamylub(co czytamy odpowiednio:f bis od x, d dwa f po dx kwadrat od x).Jeżeli druga pochodna ma w punkcie x swoją pochodną, to nazywamyją trzecia pochodną f w punkcie x i oznaczamyOgólnie: pochodną rzędu n funkcji f w punkcie x jest pochodnafunkcji będącej pochodną rzędu n-1, tzn.lub w innym zapisieDefinicja 2.Mówimy, że funkcja f jest n-krotnie różniczkowalna wprzedziale, jeśli w każdym punkcie przedziału ma n-tą pochodną.Mówimy, ze f jest klasy Cn(a,b) jeśli jest n-krotnie różniczkowalna in-ta pochodna jest funkcją ciągłą w (a,b)..Przykład 1.a) Niech f(x)= , zatem: f (x)=f (x)=,Ogólnie. Dla f(x) = ,, f (x)=,0=1,Zastosowania matematyki w ekonomii 2014. Wykład 9.R.Rempałab) Wszystkie pochodne funkcji f(x) =są równeDefinicja 3.Funkcją klasynazywamy funkcję, która makażdym punkcie przedziału (a,b) pochodne dowolnego rzędu.Zauważmy, że funkcjesa klasydla dowolnegoprzedziału (a,b). W takiej sytuacji mówimy, że są klasyI 2. Uogólnienie Twierdzenia Lagrange’aTwierdzenie1. (Wersja wzoru Taylora)Jeśli funkcja f ma w otoczeniu (xx) drugą pochodną, to dladowolnego punktu x (xx) istnieje taki punk , żef(x) = f(x) + f (x)(x-x) + fprzy czym= x+x) ,Wzór (*) jest pomocny przy badanu ekstremów funkcji.Przykład 2.(Wzór(*) dla f(x)= ).Niech f(x)= ex, x= 0 , stosując wzór (*) otrzymujemy:=1+x+,)(x-x)2,(*)Komentarz.Można pokazać, że funkcjajest sumą następującegoszeregu ( nazywanego szeregiem Maclaurina)x- dowolneII. Badanie funkcji za pomocą pierwszej i drugiej pochodnej2Zastosowania matematyki w ekonomii 2014. Wykład 9.R.RempałaTwierdzenie 2.(Warunki wystarczające ekstremum; fJeżeli f jest funkcją klasy C2w otoczeniu punktu xi jeśliffto f(x) ma w tym punkcie lokalne ekstremum właściwe i jest toa) minimum, jeśli fb) maksimum, jeśli f0)Dowód .W tym przypadku na mocy wzoru (*) z Twierdzenia 1 mamyf(x) = f(x) + f (x)(x-x) + f)(x-x)2= f(x) + f)(x-x)2Zatem z faktu, że fwynika, iż istnieje takieotoczenie (xże dla każdego z tego otoczenia f ) > 0(f) < 0). Stąd dostajemy nierównośćf(x) f(x) > 0 (f(x) f(x) < 0),która oznacza, że w funkcja f w punkcie xosiąga minimum lokalne(maksimum lokalne).Przykład 3.Wyznaczyć ekstrema funkcji f(x)=x2(x-1)Zauważmy, żea),,b) f(x)=0 dla x= 0 oraz x=1,c) f (x)=3x22x, f (0)=0, f (2/3)=0,d) f (x)=6x 2, f (0)= 2 < 0, f (2/3)=Na mocy Twierdzenia 2 funkcja f ma w punkcie x=0 maksimumlokalne natomiast w punkcie x= 2/3 minimum lokalne.2/31xRys.1. Szkic wykresu funkcji f(x)=x2(x-1) .3Zastosowania matematyki w ekonomii 2014. Wykład 9.R.RempałaII 1. Wypukłość i wklęsłość funkcjiDefinicja 4.( Wypukłość funkcji)Mówimy, że f: (a,b)jestwypukłajeżeli spełnia warunek:f((1-; (**)Jeżeli ponadto warunek (**) spełniony jest z ostrą nierównością (<),to mówimy, że f jestściśle wypukławf(x)f((1-x1(1-)x2xRys.2.Funkcja ściśle wypukłaDefinicja 5.( Wklęsłość funkcji)Mówimy, że f: (a,b)jestwklęsłajeżeli spełnia warunek:f((1-;(**)Jeżeli ponadto warunek (**) spełniony jest z ostrą nierównością (>),to mówimy, że f jestściśle wklęsław4Zastosowania matematyki w ekonomii 2014. Wykład 9.R.Rempałaf(x)f((1-x1(1-)x2Rys.3. Funkcja wklęsła ale nie ściśle wklęsła.Definicja 6.Punkt (x, f(x)) jestpunktem przegięcia funkcji fjeżeliistnieje takie, że w jednym z przedziałów xx,xx) funkcja jest wypukła a w drugim wklęsła.Twierdzenie.Jeżeli f jest klasy C2(a,b) (dwukrotnie różniczkowalnaw sposób ciągły, toa) f jest wypukła (ściśle wypukła) na (a,b) wtedy i tylko wtedy, gdyf(fdla xb) f jest wklęsła (ściśle wklęsła) na (a,b) wtedy i tylko wtedy, gdyf(fdla x.c) Jeżeli (x, f(x)) jest punktem przegięcia funkcji f, to f (x) = 0f(x)(a,f(a)) jest punktem przegięcia wykresu fRys. 4.a5 [ Pobierz całość w formacie PDF ]

  • zanotowane.pl
  • doc.pisz.pl
  • pdf.pisz.pl
  • emaginacja.xlx.pl

    •