UTF-8''EKON.Zast. Mat.Wykład 7-2, 1 rok, I semestr 1 rok, Zastosowanie matematyki - wykład

[ Pobierz całość w formacie PDF ]
//-->Zastosowania matematyki w ekonomii 2014. Wykład 7.R.RempałaWykład 7. Różniczkowanie funkcji jednej zmiennejLiteratura: R. Leitner, Zarys matematyki wyższej, WNT Warszawa,1995; 2) J. Kłopotowski i inni,Analiza matematyczna. Podręcznik dla ekonomistów, 2010)I.Definicja pochodnejNiech funkcja f będzie określona w otwartym przedziale XRozważmy punkt x należący do tego przedziału. Dowolną takąliczbę h (dodatnią lub ujemną) , że(x+h)nazywamy przyrostem argumentu w punkcie x, zaś różnicęf(x+h) f(x)nazywamy odpowiednim przyrostem funkcji f .Często te przyrosty są oznaczane odpowiednio h= x,f = f(x+ x) f(x).Zauważmy, że w przyrostymogąprzyjmować wartości dodatnie , ujemne lub zero.Definicja 1. Pochodna funkcji f w punkcie xNastępującą granicę ilorazu przyrostów( przy innych oznaczeniachnazywamypochodną funkcjifw punkciexi oznaczamygranica istnieje i jest skończona.Interpretacja geometryczna pochodnej.)lubf(x)xRys.1.,to nachylenie siecznej do osi x, tg(tg( ) =x=;,to nachylenie stycznej do osi x,. Równanie prostej stycznej: y = f (x)(x-x) + f(x).1Zastosowania matematyki w ekonomii 2014. Wykład 7.R.RempałaDefinicja 2.Przypominamy Xoznacza otwarty przedział.Mówimy, że funkcja f:Xjest różniczkowalna wpunkcie x Xjeśli ma pochodnąw tym punkcie. Mówimy, ze f jestróżniczkowalnaw przedzialeX jeśli jest różniczkowalna w każdym punkcie tegoprzedziału.Przykłady funkcji różniczkowalnych1a)Pochodna funkcji stałej jest równa 0. Jeśli f jest stała, to dlakażdego x, f(x)=c, c=const, zatem== 0.1b)Pochodna funkcji f(x)= x jest równa 1, ponieważ==1c)Pochodna funkcji f(x)= x2= 2x, mamy bowiem=====II 2.Wyznaczanie pochodnych jednostronnych,Granicę ilorazu()nazywamy pochodna prawostronną (lewostronną) funkcji f w punkciex i oznaczamy(o ile granica ilorazu istnieje i jestskończona.Przykład. 2.f(x)=|x|=zauważmy, że=Podobnie , można pokazać, że2x(por. Przykład1.b).=Zastosowania matematyki w ekonomii 2014. Wykład 7.R.RempałaPoliczmy pochodna jednostronne w punkcie x=0. Mamy,Iloraz różnicowy przyrostów ma granice zależne od wyboru ciągówhnco oznacza, że granica ilorazów przyrostów w x=0 nieistnieje.f(x)=|x|xRys.2Wykres funkcji f(x)=|x|Uwaga.Zauważmy, że funkcje jest różniczkowalna jeśli skończoneobie pochodne jednostronne są sobie równe.Twierdzenie1.(Ciągłość i różniczkowalność)Funkcja różniczkowalna w punkcie x jest ciągła w tym punkcie.Dowód. Z różniczkowalności w punkcie x wynika, że=f (x), zatem== f (x) 0 = 0Uwaga.Twierdzenie odwrotne nie jest prawdziwe.Kontrprzykład: funkcja |x| . Jest ona ciągła w każdym punkciedziedziny ale nie jest różniczkowalna w punkcie x= 0 ( por. Przykładi Rys 2.)3Zastosowania matematyki w ekonomii 2014. Wykład 7.R.RempałaPrzy różniczkowaniu dobrze jest znać pochodne często występującychfunkcji elementarnych. Podajemy niektóre z nich.II 3. Pochodne wybranych funkcji elementarnychFunkcjaa) stałab) potęgowac) potęgowejd) wykładniczeje) logarytmicznaf) sinusg) cosinusPochodna(const.) = 0(xr) = rxr-1, r liczba rzeczywista, x > 0(xn) = nxn-1, n-liczba naturalna(ex) = ex(logax)(sin x) =cos x,(cos x) =sin x.II 4. Działania na funkcjach i pochodnychTwierdzenie 2 (Działania na pochodnych)Jeżeli funkcje f i g są różniczkowalne punkcie x, to ich suma, różnica iiloczyn są różniczkowalne w punkcie x i zachodzą związkia) (f(x)+g(x)) = f (x) g (x)b) (f(x) g(x) = f (x) g (x)c) (f(x) g(x)f (x) g(x)f(x)g (x)Jeśli dodatkowo funkcja g(x), to iloraz f(x)/g(x) jestróżniczkowalny w punkcie x i zachodzi związekd) (f(x)/g(x)) =e) (a f(x)) =a f (x) dla dowolnej stałej liczby a.4Zastosowania matematyki w ekonomii 2014. Wykład 7.R.RempałaPochodna superpozycjiNiech u = g(x) będzie funkcją odwzorowującą przedział (a,b) wdziedzinę funkcji y = f(u). Niech F(x) oznacza superpozycję (funkcjęzłożoną) y=F(x)= f(g(x)).Jeżeli funkcja g ma w punkcie x (a,b) pochodną gf ma w odpowiednim punkcie u = g(x) pochodną fi funkcjatopochodna funkcji złożonej F (x)= (f(g(x)) = f (u)|u=g(x)g (x).Przykład. 3 (lnsin(x)) = (lnu)|u=sin(x)cos(x)=Pochodna funkcji odwrotnejNiech f i g będą ściśle monotoniczne,f: (a,b)i takie, że g =(g jest odwrotna do f), f jest różniczkowalna wpunkcie x(a,b) i pochodna f (x)Wtedy g jest różniczkowalna w punkcie y=f(x) orazg (y)=Przykład 4.Nich f(x) = wtedy g(y)=ln y jest funkcjąodwrotną do f.Mamy więc f (x)= , zatem g===Wniosek(ln y) =,y>0Przykłady różniczkowania5 a) k= cons, (ekx) = eu|u=kx(kx) =ekxk5 [ Pobierz całość w formacie PDF ]

  • zanotowane.pl
  • doc.pisz.pl
  • pdf.pisz.pl
  • emaginacja.xlx.pl

    •