UTF-8''EKON.Zast. Mat.Wykład 4b-5-2, 1 rok, I semestr 1 rok, Zastosowanie matematyki - wykład

[ Pobierz całość w formacie PDF ]
//-->Zastosowania matematyki w ekonomii 2014. Wykład 4b-5.R. RempałaWykład 4b-5I. Model liniowy częściowej równowagi rynkoweja) Opis modelu dla jednego dobraNiech oznacza popyt na dobro, - podaż. Zakładamy, że obiefunkcje są liniowymi funkcjami ceny p:= a-bp, a>0, b>0= dp - c; c >0, d >0Równowaga na rynku powstaje wtedy i tylko wtedy gdy popyt jestrówny podaży. Zatem poszukujemy takiej ceny, przy której realizujesię ta równość.a - bp = - c + dpRozwiązaniem (ceną równowagi) jest :p* =aa - bpdp - c-cp* -cena równowagipb) Modelrynkuz n dobramiW ogólnym przypadku, w modelu liniowym uwzględniającym ndóbr, zarówno popyt jak i podaż są funkcjami cen rynkowych1Zastosowania matematyki w ekonomii 2014. Wykład 4b-5.R. Rempaławszystkich dóbr. Ogólna równowaga rynkowa dotyczy każdegodobra z osobna. Zatem w przypadku n=2 model jest opisanynastępująco :dla pierwszego dobra :=a+a1p1+a2p2=b+b1p1+b2p2dla drugiego dobra:=+1p1+2p2=+1p1+2p2gdzie współczynniki a,a1,a2,b,b1,b2odnoszą się do popytu i podaży,pierwszego dobra, natomiast,1,2,,1,2dopopytu i podaży (,drugiego dobra.Po uporządkowaniu równania równowagi maja postać :(*)(a1–b1) p1+(a2–b2)p2= – (a– b)(1–1) p1+(2–2)p2= – (–)Otrzymaliśmy układ 2 równań z dwiema niewiadomymi: p1, p2.Rozwiązaniem układu (*) są ceny równowagi.Nie jest trudno zauważyć, jaką postać przybiera układ równań na cenyrównowagi w przypadku większej liczby dóbr. Ograniczymy się tymrazem do konkretnego równania na ceny równowago dla n=3.Zadanie.Dla danego modelu rynku z 3 dobrami, równaniarównowagi (*) przybierają postać:-3p1+2p2+p3=-8p1- 4p2+2p3=-2p1+p2-2p3=-42Zastosowania matematyki w ekonomii 2014. Wykład 4b-5.R. RempałaWyznaczyć ceny równowagi metodą wyznacznikową Cramera.(Dla ułatwienia podajemy odpowiedź :p1= 18, p2=14, p3=18).Wykład 5. Ciągi liczbowe i szeregi(Literatura: R. Leitner, Zarys matematyki wyższej,WNTWarszawa,1995)I. Ciągi liczbowePrzyjmujemy następujące oznaczenie dla zbioru liczbnaturalnych: ={1,2, ….,n,…}.1.Definicja ciągu.Funkcję a:(odwzorowującą zbiór liczbnaturalnych w zbiór liczb rzeczywistych) nazywamyciągiemliczbowym.Wartość funkcji a(n) zwykło się oznaczaći nazywać n-tymwyrazem ciągu. Sam ciąg zazwyczaj oznaczamy przez (Przykłady ciągów:Ciąg o wyrazach =2n, n=1,2,…, jest ciągiem kolejnych liczbparzystych;--------„-------= a+r n-1) , n=1,2,…, jest ciągiemarytmetycznym, (apierwszy wyraz,r- różnica);----------„------ = a,n=1,2,…, to ciąg geometryczny (apierwszy wyraz, q- iloraz);----------„------ = n! n=1,2,…, to ciąg „n-silnia”. Można go zapisaćrekurencyjnie:, a1=1;----------„------ =(-1)nn=1,2,…, to ciąg przyjmujący tylko dwiewartości:-1 dla wskaźnika nnieparzystego oraz 1 dla nparzystego.3Zastosowania matematyki w ekonomii 2014. Wykład 4b-5.R. Rempała2.Definicja monotoniczności ciągu.Mówimy, że ciąg jestniemalejący (nierosnący) jeśli(), nJeśli nierówność jest ostra mówimy, że ciąg jest rosnący( malejący).Przykład .Ciąg= n! n=1,2,…, jest rosnący.3. Definicja ograniczoności ciągu.Ciąg nazywa się ograniczonyjeśli wszystkie wyrazy ciągu należą do pewnego ograniczonegoprzedziału, tzn. istnieje takie M, że |an|, n=1,2,…PrzykładCiąg an= n/(n+1) jest ograniczony; | n/(n+1)|< 1 dla każdegon=1,2,…Wygodne zdanie:prawie wszystkie wyrazy ciągu.Powyższe powiedzenie oznacza: wszystkie wyrazy ciągu z wyjątkiem,co najwyżej skończenie wielu.Przykład:ciąg: 4, 3, 2, 1, 1/2, 1/3, 1/4 ,…,1/n,… ma prawiewszystkie wyrazy mniejsze od 1.II. Granica ciąguPojęcie granicy ciągujest własnością nieskończonej liczbyjegowyrazów.4.Definicja granicy.Mówimy, że ciąg (an) zbiega do granicy g(innymi słowy granicą ciągu jest skończona liczba g), co zapisujemyanprzy nlub=gjeśli dla dowolnej liczbyistnieje taka liczba (delta), żewszystkie wyrazy ciągu o wskaźnikach n większych niż , różnia sięod g mniej niż (epsilon),tzn.4Zastosowania matematyki w ekonomii 2014. Wykład 4b-5.R. RempałaInnymi słowy.Liczba g jest granicą ciągu jeśli, w dowolnymotoczeniu g, znajdują się prawie wszystkie wyrazy tego ciągu.g-g+Rys.1.Jeśli g jest granica to dla każdegoprawiewszystkie wyrazy ciągu wpadają do przedziału (, g + ).1. Twierdzenie (O ograniczoności ciągu zbieżnego)Każdy ciąg zbieżny jest ograniczony.Dowód.Popatrzmy na Rys.1. Tylko skończona liczba wyrazów ciągumoże być poza przedziałem (, g + ). Rozważmy zbiór Zwyrazów nie wchodzących do przedziału. Niech z1= min(aiz2=max (aiNiech M1= min(z1,M2= max(z2,g + .Zatem |an|max(|M1|,|M2|)Zadanie.Udowodnić na podstawie definicji granicy, że=0|prawdziwa jest nierówność (*).Uwaga. Jeżeli ciąg jest zbieżny, to ma dokładnie jedną granicęskończoną.Pomoże Państwu poniższy rysunek: gdyby były 2 granice, to zgodniez definicją w otoczeniu każdej z nich byłyby prawie wszystkiewyrazy ciągu, co jest niemożliwe bo otoczenia są rozłączne= < ,dla n >(*)Rozwiązanie.Występująca w definicji granicy nierówność ma postaćco jest równoważne nierówności n > . Zatem biorąc5 [ Pobierz całość w formacie PDF ]

  • zanotowane.pl
  • doc.pisz.pl
  • pdf.pisz.pl
  • emaginacja.xlx.pl

    •