UTF-8''EKON.Zast. Mat.Wykład 3b-4a', 1 rok, I semestr 1 rok, Zastosowanie matematyki - wykład

[ Pobierz całość w formacie PDF ]
//-->Zastosowania matematyki w ekonomii. 2014.Wykład 3b-4a. R. RempałaWykład 3b- 4a. Wyznaczniki c.d. Układy równao c.d.I. Własności wyznaczników (c.d. Wykładu 3a)Twierdzenie 7(O macierzy nieosobliwej i wyznaczniku).MacierzA M(n,n) jest macierzą nieosobliwą wtedy i tylko wtedy, gdydet (A) 0.Dowód pomijamy.Wniosek.Układ wektorówa1,a1,…,an; aii=1,2,…,n, jestniezależny wtedy i tylko wtedy, gdy det[a1,a1,…,an]0.(Przypominamy [a1,a1,…,an]jest macierzą o kolumnach utworzonychprzez układ wektorów).Twierdzenie 8. (Rozwinięcie Laplace’a).Jeśli A=*aij] M(n,n), na)det(A) =(-1)i+1Ai1+to(-1)i+2Ai2+ … +(-1)i+jAij+...+(-1)i+nAin(rozwinięcie względem i-tgo wiersza. Przypominam, że dla i=1 mamydefinicję wyznacznika)b) det(A) =(-1)1+jA1j+(-1)2+jA2j+...+ (-1)i+jAij+...+(-1)n+jAnj(rozwinięcie względem j-tej kolumny).gdzie Aijjest wyznacznikiem macierzy otrzymanej z A przezwykreślenie i-tego wiersza i j-tej kolumny.Przykład.Niech A =.Zauważmy, że dużo łatwiej jest liczyd wyznacznik względemrozwinięcia 3 wiersza (ze względu na 2 zera w tym wierszu).1Zastosowania matematyki w ekonomii. 2014.Wykład 3b-4a. R. RempałaPrzyjmijmy wygodniejsze oznaczenie: det(A)=Mamy.= 3(-1)3+1+ (-5)(-1)3+3=3(2-3-4 -1+2+12) -5(12-1-8+12-4 +2)=3–(5– 41Zauważmy, że przy rozwinięciu względem pierwszego wierszadostaniemy ten sam wynik.=2(-1)1+1+1(-1)1+2+-2(-1)1+3+1(-1)1+4.Dalsze rachunki zostawiam jako dwiczenie.Twierdzenie 9. (Podstawowe własności wyznacznika)Niech A=[aij] M(n,n); wtedya) det(AT) = det(A).b) Jeśli A ma kolumnę (lub wiersz) złożoną z samych zer, to det(A)=0.c)Jeśli A jest macierzą trójkątną górną ( pod przekątną głównąwszystkie elementy są zerowe.) lub trójkątną dolną (nad przekątnągłówną wszystkie elementy są zerowe), to det(A)= a11a22…ann.2Zastosowania matematyki w ekonomii. 2014.Wykład 3b-4a. R. Rempaład) Jeśli A* jest macierzą otrzymaną z A przez zamianę dwu wierszylub dwu kolumn, to det(A*)= det(A).e) Jeśli A ma dwie kolumny identyczne (lub dwa wiersze) identyczneto det(A)=0Twierdzenie 10. (Twierdzenie Cauchy’ego o wyznaczniku iloczynumacierzy)Jeżeli A M(n,n) i B M(n,n), to det(A B)=det(A)det(B)Twierdzenie 11 (O liniowości wyznacznika względem kolumny)Niech A=[a1,a1,…,an],ajM(n,1) j=1,2,…,n i niechliczbą. Wtedy dla 1a) det[a1, a2, …,mamydet[a1, a2, …, ai,…, an]będzie dowolnąai,…, an]=b) det[a1, a2, …, ai’ + ai’’ ,…, an] = det[a1, a2, …, ai’,…, an]+[a1, a2, …, ai’’ ,…, an], dla dowonych ai’, ai’’ M(n,1).Wniosek.Zauważmy , że jeśli do i-tej kolumny (wiersza) macierzy Adodamy j-tą , (jstałą, todet[a1, a2, …, ai+aj,…, an]= det[a1, a2, …, ai,…, an].kolumnę (wiersz) macierzy A pomnożoną przezWynika to z faktu, że wyznacznik macierzy, która ma dwie takie samekolumny, równa się zero (punkt e) zTw.8).2.Wzór wyznacznikowy na macierz odwrotnąNiech A M(n,n). Niech, jak wcześniej (np.w rozwinięciu Laplace’a), Aijbędziewyznacznikiemmacierzy otrzymanej z A przez wykreśleniei-tego wiersza oraz j-tej kolumny.3Zastosowania matematyki w ekonomii. 2014.Wykład 3b-4a. R. RempałaNiech, ponadto= (-1)i+jAij.Definicja.Dla dowolnej macierzy nieosobliwej A macierzą dopełnieonazywamy macierzAD=Twierdzenie 12.Macierz odwrotna do macierz A określona jestnastępującym wzorem:Przykład.Obliczyd macierz odwrotną do macierzy A=za pomocą macierzy dopełnieo.det(A)=(-2+6)+(-3-2)=-1. Na mocy Twierdzenia 7 macierz odwrotnaistnieje.Dopełnienia:= 1=4=3==5=31==16= 4Macierz odwrotna:4Zastosowania matematyki w ekonomii. 2014.Wykład 3b-4a. R. Rempała3. Układ CrameraDefinicja.W przypadku gdy macierz współczynników układu równao:Ax=b należy do M(n,n) i det(A)Cramera.Zapiszmy układ Cramera dokładniej., układ nazywamyukładem(*)b=,x=, A=[+ i=1,2,…,n; j =1,2,…,n; det (A)Twierdzenie 13. (Twierdzenie Cramera)Układ Cramera ma dokładnie jedno rozwiązanie. Rozwiązanie todane jest wzorem.gdzie macierzpowstaje z macierzy współczynników A przezzastąpienie k-tej kolumny wektorem wyrazów wolnychb.Dowód.Zapiszmy układ w postaci Ax=b. Zatem mnożąc obiestrony przezmamy:(Ax)=A)x=5. Z łączności mnożenia, a więc Ix=x=macierzy wynika, że [ Pobierz całość w formacie PDF ]

  • zanotowane.pl
  • doc.pisz.pl
  • pdf.pisz.pl
  • emaginacja.xlx.pl

    •