UTF-8''EKON.Zast. Mat.Wykład 10, 1 rok, I semestr 1 rok, Zastosowanie matematyki - wykład

[ Pobierz całość w formacie PDF ]
//-->Zastosowania matematyki w ekonomii 2014. Wykład 10.R.RempałaWykład 10. Tempo zmian wartości funkcji. Przebieg zmiennościfunkcji.I. Tempo zmian wartości funkcji.Pierwsza i druga pochodna pomagają w badaniu przebieguzmienności funkcji.W przypadku funkcji różniczkowalnej, zerowania się pochodnejw punkcie (tzw. punkt stacjonarny) jestwarunkiemkoniecznym istnienia ekstremum lokalnegow tym punkcie.Warunek ten często nazywany jest warunkiem pierwszegorzędu, ponieważ opiera się na własności pierwszej pochodnej.Wiemy, że w przypadku gdy funkcja posiada ciągłą drugąpochodną i jest ona dodatnia (ujemna) w punkcie stacjonarnym,to funkcja osiąga w tym punkcie lokalne minimum (maksimum).Zauważmy, że tym razemjest to warunek dostatecznyistnieniaekstremum lokalnego w punkcie. Często jest on nazywanywarunkiem drugiego rzędu, ponieważ opiera się na drugiejpochodnej.Można się pytać, czy za pomocą pochodnych drugiego rzędumożna także wyrażać warunki konieczne istnienia ekstremówlokalnych. Zauważmy, że lokalne ekstremum może wystąpić wpunkcie stacjonarnym xtakże wtedy gdyZatemwarunki konieczne drugiego rzędu mają postać:dla lokalnego maksimum,dla lokalnego minimum.W ekonomii, jak zaznaczyliśmy w Wykładzie 7, pochodna wyrażakrańcowe koszty, krańcowe przychody, krańcową użyteczność itp.Czasami ważna jest informacja jak kształtują się te „krańcowości”przy zmianie wywołujących je wpływów. Okazuje się, żewskaźnikiem zmian (malenia lub wzrostu) krańcowych wartościfunkcji jest druga pochodna.Malenie lub wzrost pochodnej (wartości krańcowych) funkcjizwiązane jest z tempem zmian wartości funkcji.Zastosowania matematyki w ekonomii 2014. Wykład 10.R.RempałaZauważmy, że w przypadku funkcji liniowej f(x) = ax + b,pochodna jest słała, f (x)=a dla każdego x. Oznacza to, żejednakowym przyrostom argumentów odpowiadają jednakowezmiany wartości funkcji ( jednakowe przyrosty przy a > 0 ijednakowe spadki przy a < 0). Mówimy wtedy o stałym tempiezmian wartości funkcji.W przypadku funkcji nieliniowych tempo zmian wartościfunkcji zmienia się.Definicja1. (Tempo zmian wartości funkcji).Niech f: (a.b)1a) Jeśli jest malejąca i ściśle wypukła, to mówimy, że maleje corazwolniej.1a ) Jeśli funkcja f jest rosnąca i ściśle wypukła, to mówimy, żerośnie coraz szybciej.Rys. 1a)Rys. 1af(x)f(x)Malejąca i ściśle wypukła- mleje coraz wolniej.Rosnąca i ściśle wypukła-rośnie corazszybciej1b) Jeśli f jest malejąca i ściśle wklęsła, to mówimy, że maleje corazszybciej.1b ) Jeśli f jest rosnąca i ściśle wklęsła, to mówimy, że rośnie corazwolniej.Rys. 1b)Rys.1 b )f(x)f(x)Malejąca i ściśle wklęsła-maleje coraz szybciej.Rosnąca i ściśle wklęsła-rośnie corazwolniejZastosowania matematyki w ekonomii 2014. Wykład 10.R.RempałaKomentarzZauważmy, że w przypadku gdy f jest funkcją klasyC2(a,b) ( dwukrotnie różniczkowalna w sposób ciągły), to z definicjiwynika, żea) Jeśli ffdla xto f maleje coraz wolniej.b) Jeśli ffdla xto f rośnie coraz szybciej.c) Jeśli ffdla xto f maleje coraz szybciej.d) Jeśli ffdla xto f rośnie coraz wolniej.Przykład.Rozważmy funkcję cos(x) na przedziałach(0,ffffffmaleje coraz szybciej;maleje coraz wolniej; rośnie coraz szybciej;(ffrośnie coraz wolniejII Badanie przebiegu funkcji. Szkic wykresu (Według M. Ekes.SGH)Założenie. Badana funkcja f jest dwukrotnie różniczkowalna wsposób ciągły1. Wyznaczamy: dziedzinę funkcji; punkty ,w których funkcjaprzyjmuje wartości zerowe; wartość f(0).2. Wyznaczamy granice funkcji na końcach przedziałów określonościi wyznaczamy asymptoty.3. Wyznaczamy f i badamy jej znaki.4. Wyznaczamy f i badamy jej znaki.5. W tabeli zaznaczamy znaki pochodnych i tempo zmian funkcji.6. Na podstawie tabeli szkicujemy wykres funkcji.Zastosowania matematyki w ekonomii 2014. Wykład 10.R.RempałaZadanie.Zbadać przebieg zmienności funkcji; f(x) =Ad 1.Dziedzina: D =(Miejsca zerowe:,Wartość w zerze: f(0) =Wniosek.Wykres funkcji przecina osie układu w punktach :(0,Ad 2.Granice w końcach przedziałów określoności:=,=Wniosek.Prosta o równaniu x =jest asymptotą pionowąwykresu funkcji. Jest to jednocześnie asymptota przy-przyRozważmy granice przyi przy.=Podobnie można wykazać, że=+=+jak iWniosek.Nie istnieje asymptota pozioma , sprawdzamy ukośną:ax+b (por. Wykład 6.str. 8. Twierdzenie 5).a=b=Asymptota ukośna:jest jednocześnie asymptotą przy.Zastosowania matematyki w ekonomii 2014. Wykład 10.R.RempałaAd3. Wyznaczamy f i badamy jej znaki.f=Poszukujemy punktów zerowania się pochodnej oraz przedziałów,w których pochodna jest dodatnia i ujemna.fw dziedzinie funkcji wtedy i tylko wtedy gdyŁatwo znaleźć punkty zerowe.=2x1=Wniosek .=fffAd 4. Badanie ff= [=Wniosek. f=dla x (;fdla x ([,x2=dla x1=dla xdla x(, x2=,x2=)== [ Pobierz całość w formacie PDF ]

  • zanotowane.pl
  • doc.pisz.pl
  • pdf.pisz.pl
  • emaginacja.xlx.pl

    •