X


uklady rownan, Studia, Matematyka 2

[ Pobierz całość w formacie PDF ]
Układy równań liniowych
Układ m równań liniowych (tzn. 1-go stopnia) o n niewiadomych
x
,
1
,
2
x
,

ma postać:
x
n

a
11
x
1

a
12
x
2



a
1
n
x
n

b
1


(*)
a
21
x
1

a
22
x
2



a
2
n
x
n

b
2







a
m
1
x
1

a
m
2
x
2



a
mn
x
n

b
m
gdzie
m
,
n
 ,
N
,
a
ij

b
ij
R
,
1
 1
i

m
,

j

n
Definicja
Układ równań bez rozwiązań to układ
sprzeczny.
Układ równań, który ma rozwiązanie to układ
niesprzeczny
Wprowadźmy symbole

a
11
a
12

a
1
n


a
11
a
12

a
1
n
b
1


b
1







a
a

a
a
a

a
b
b
A

[
a
]


21
22
2
n

,
U


21
22
2
n
2

,
B


2

ij























a
a

a


a
a

a
b


b

m
1
m
2
mn
m
1
m
2
mn
m
m
A
– macierz
główna
U
– macierz
uzupełniona
B – macierz (kolumnowa)
wyrazów wolnych
Twierdzenie
(Cramera)
Jeżeli
m=n
oraz jeżeli 0
detA  , to
x

det
A
1
,
x

det
A
2
,

,
x

det
A
n
1
det
A
2
det
A
n
det
A
gdzie
A
oznacza macierz powstałą z macierzy A przez zastąpienie
i
-tej
kolumny
przez
kolumnę wyrazów wolnych (tzn. przez (n+1)-ą kolumnę macierzy
U
)
Uwaga
Podane w tym twierdzeniu wzory noszą nazwę wzorów Cramera
Uwaga
1.
Układ (*) może być zapisany w postaci równania macierzowego AX=B
2.
Jeżeli
m=n
oraz jeżeli
0
detA 
, to rozwiązanie równania macierzowego AX=B
jest następujące:
B
X

A

1
Rozwiązywanie układów równań liniowych metodą operacji elementarnych
Dwa niesprzeczne układy równań są równoważne gdy mają takie same zbiory
rozwiązań.
Operacją elementarną na układzie równań nazywamy każde przekształcenie układu
równań w układ równoważny.
Rozróżniamy następujące operacje elementarne:
1.
Mnożenie dowolnego równania układu przez liczbę różną od zera
2.
Dodawanie do dowolnego równania układu liniowej kombinacji innych równań
układu
3.
Przestawienie dwóch dowolnych równań układu
4.
Pominięcie dowolnego, tożsamościowego równania układu
Dokonując operacji elementarnych na układzie
A X = B
, możemy go przekształcić w układ
równoważny
C X =D
, gdzie macierz
C
jest macierzą bazową (lub można ja sprowadzić do
postaci bazowej zamieniając z sobą odpowiednie kolumny) tzn. jest postaci:
C


I
k
F
k

(
n

k
)

0
0

(
m

k
)

k
(
m

k
)

(
n

k
)

gdzie
I
– macierz jednostkowa
F


– dowolna macierz
)
0 ,
(
m

k
0
k
(

– macierze zerowe

(
n
)
Układ
C X =D
nazywamy postacią bazową układu
A X = B
. Postać bazowa
C X =D
jest
jednoznacznie wyznaczona przez macierz blokową
 
E
 , którą otrzymujemy
C
D
dokonując operacji elementarnych na wierszach macierzy uzupełnionej
 
U

.
B
Z postaci bazowej układu można natychmiast odczytać rozwiązania układu lub stwierdzić, że
układ jest sprzeczny.
2


k
(
k
n
 )
k
m

k
)
A
Uwaga
Rozwiązując układ (*) metodą operacji elementarnych można przekształcić macierz U do
postaci podobnej do macierzy E , gdzie zamiast macierzy jednostkowej
I
jest macierz
trójkątna
Przykład 1
Ogólny sposób rozwiązywania układu trzech równań z trzema niewiadomymi metodą
eliminacji
a
11
x
1

a
12
x
2

a
13
x
3

b
1
a
21
x
1

a
22
x
2

a
23
x
3

b
2
a
31
x
1

a
32
x
2

a
33
x
3

b
3

a
11
a
12
a
13
b
1
a
21
a
22
a
23
b
2
a
31
a
32
a
33
b
3

U



Zakładamy, że mianowniki są różne od zera
w2
 
a
21
a
11

w1
w3
 
a
31
a
11

w1

a
11
a
12
a
13
b
1
0

a
12
a
21
a
11


a
22

a
13
a
21
a
11

a
23

a
21
b
1
a
11

b
2
0

a
12
a
31
a
11

a
32

a
13
a
31
a
11

a
33

a
31
b
1
a
11


b
3


a
12
a
31
a
11

a
32
w3
 

w2

a
12
a
21
a
11

a
22

a
11
a
12
a
13
b
1

0

a
12
a
21
a
11

a
13
a
21
a
11

a
21
b
1
a
11

a
22

a
23

b
2
0 0

a
13
a
31
a
11



a
13
a
21
a
11

a
23


a
12
a
31
a
11

a
32


a
33

a
31
b
1
a
11



a
12
a
31
a
11

a
32


a
21
b
1
a
11

b
2


b
3

a
12
a
21
a
11

a
12
a
21
a
11

a
22

a
22


3
Przykład 2
x
1

x
2

x
3

x
4

1
3x
1

x
2

3x
4

1

x
1

x
2

2x
3

x
4

1

1 1 1

1 1
3 1 0

3 1

1 1 2 1 1

U



w2
 
3

w1
w3
 
1

w1

1 1 1

1 1
0

2

3 0

2
0 2 3 0 2



w3
 
1

w2

1 1 1

1 1
0

2

3 0

2
0 0 0 0 0



Rozwiązanie:

x
1

1
2

x
3

2x
4

,x
2

1
2

2

3x
3

Przykład 3
x
1

x
2

3x
3

x
4

2

2x
1

3x
2

3x
3

2x
4

0
x
1

2x
2

x
3

3x
4

2

1 1

3 1 2

2

3 3

2 0
1 2 1 3 2

U



w2
 
2

w1
w3
 
1

w1

1 1

3 1 2
0

1

3 0 4
0 1 4 2 0



w3
 
1

w2

1 1

3 1 2
0

1

3 0 4
0 0 1 2 4



Rozwiązanie:

x
1

30

13x
4
,x
2
 
16

6x
4
,x
3

4

2x
4

4
Przykład 4
x
1

3x
2

5x
3
 
4
3x
1

2x
2

x
3

9
2x
1

x
2

4x
3

0

1 3

5

4
3 2

1 9
2

1 4 0

U



w2
 
3

w1
w3
 
2

w1

1 3

5

4
0

7 14 21
0

7 14 8



w3
 
1

w2

1 3

5

4
0

7 14 21
0 0 0

13



Rozwiązanie:
Układ sprzeczny
Przykład 4
x
1

x
2

2x
3

0
2x
1

x
2

x
3

3
3x
1

x
2

x
3

1

1 1

2 0
2 1 1 3
3 1

1 1

U



w2
 
2

w1
w3
 
3

w1

1 1

2 0
0

1 5 3
0

2 5 1



w3
 
2

w2

1 1

2 0
0

1 5 3
0 0

5

5



Rozwiązanie:

x
1

0,x
2

2,x
3

1

5
[ Pobierz całość w formacie PDF ]

  • zanotowane.pl
  • doc.pisz.pl
  • pdf.pisz.pl
  • emaginacja.xlx.pl
  •  

    Drogi użytkowniku!

    W trosce o komfort korzystania z naszego serwisu chcemy dostarczać Ci coraz lepsze usługi. By móc to robić prosimy, abyś wyraził zgodę na dopasowanie treści marketingowych do Twoich zachowań w serwisie. Zgoda ta pozwoli nam częściowo finansować rozwój świadczonych usług.

    Pamiętaj, że dbamy o Twoją prywatność. Nie zwiększamy zakresu naszych uprawnień bez Twojej zgody. Zadbamy również o bezpieczeństwo Twoich danych. Wyrażoną zgodę możesz cofnąć w każdej chwili.

     Tak, zgadzam siÄ™ na nadanie mi "cookie" i korzystanie z danych przez Administratora Serwisu i jego partnerów w celu dopasowania treÅ›ci do moich potrzeb. PrzeczytaÅ‚em(am) PolitykÄ™ prywatnoÅ›ci. Rozumiem jÄ… i akceptujÄ™.

     Tak, zgadzam siÄ™ na przetwarzanie moich danych osobowych przez Administratora Serwisu i jego partnerów w celu personalizowania wyÅ›wietlanych mi reklam i dostosowania do mnie prezentowanych treÅ›ci marketingowych. PrzeczytaÅ‚em(am) PolitykÄ™ prywatnoÅ›ci. Rozumiem jÄ… i akceptujÄ™.

    Wyrażenie powyższych zgód jest dobrowolne i możesz je w dowolnym momencie wycofać poprzez opcję: "Twoje zgody", dostępnej w prawym, dolnym rogu strony lub poprzez usunięcie "cookies" w swojej przeglądarce dla powyżej strony, z tym, że wycofanie zgody nie będzie miało wpływu na zgodność z prawem przetwarzania na podstawie zgody, przed jej wycofaniem.