uklady rownan, Studia, Matematyka 2

[ Pobierz całość w formacie PDF ]
Układy równań liniowych
Układ m równań liniowych (tzn. 1-go stopnia) o n niewiadomych
x
,
1
,
2
x
,

ma postać:
x
n

a
11
x
1

a
12
x
2



a
1
n
x
n

b
1


(*)
a
21
x
1

a
22
x
2



a
2
n
x
n

b
2







a
m
1
x
1

a
m
2
x
2



a
mn
x
n

b
m
gdzie
m
,
n
 ,
N
,
a
ij

b
ij
R
,
1
 1
i

m
,

j

n
Definicja
Układ równań bez rozwiązań to układ
sprzeczny.
Układ równań, który ma rozwiązanie to układ
niesprzeczny
Wprowadźmy symbole

a
11
a
12

a
1
n


a
11
a
12

a
1
n
b
1


b
1







a
a

a
a
a

a
b
b
A

[
a
]


21
22
2
n

,
U


21
22
2
n
2

,
B


2

ij























a
a

a


a
a

a
b


b

m
1
m
2
mn
m
1
m
2
mn
m
m
A
– macierz
główna
U
– macierz
uzupełniona
B – macierz (kolumnowa)
wyrazów wolnych
Twierdzenie
(Cramera)
Jeżeli
m=n
oraz jeżeli 0
detA  , to
x

det
A
1
,
x

det
A
2
,

,
x

det
A
n
1
det
A
2
det
A
n
det
A
gdzie
A
oznacza macierz powstałą z macierzy A przez zastąpienie
i
-tej
kolumny
przez
kolumnę wyrazów wolnych (tzn. przez (n+1)-ą kolumnę macierzy
U
)
Uwaga
Podane w tym twierdzeniu wzory noszą nazwę wzorów Cramera
Uwaga
1.
Układ (*) może być zapisany w postaci równania macierzowego AX=B
2.
Jeżeli
m=n
oraz jeżeli
0
detA 
, to rozwiązanie równania macierzowego AX=B
jest następujące:
B
X

A

1
Rozwiązywanie układów równań liniowych metodą operacji elementarnych
Dwa niesprzeczne układy równań są równoważne gdy mają takie same zbiory
rozwiązań.
Operacją elementarną na układzie równań nazywamy każde przekształcenie układu
równań w układ równoważny.
Rozróżniamy następujące operacje elementarne:
1.
Mnożenie dowolnego równania układu przez liczbę różną od zera
2.
Dodawanie do dowolnego równania układu liniowej kombinacji innych równań
układu
3.
Przestawienie dwóch dowolnych równań układu
4.
Pominięcie dowolnego, tożsamościowego równania układu
Dokonując operacji elementarnych na układzie
A X = B
, możemy go przekształcić w układ
równoważny
C X =D
, gdzie macierz
C
jest macierzą bazową (lub można ja sprowadzić do
postaci bazowej zamieniając z sobą odpowiednie kolumny) tzn. jest postaci:
C


I
k
F
k

(
n

k
)

0
0

(
m

k
)

k
(
m

k
)

(
n

k
)

gdzie
I
– macierz jednostkowa
F


– dowolna macierz
)
0 ,
(
m

k
0
k
(

– macierze zerowe

(
n
)
Układ
C X =D
nazywamy postacią bazową układu
A X = B
. Postać bazowa
C X =D
jest
jednoznacznie wyznaczona przez macierz blokową
 
E
 , którą otrzymujemy
C
D
dokonując operacji elementarnych na wierszach macierzy uzupełnionej
 
U

.
B
Z postaci bazowej układu można natychmiast odczytać rozwiązania układu lub stwierdzić, że
układ jest sprzeczny.
2


k
(
k
n
 )
k
m

k
)
A
Uwaga
Rozwiązując układ (*) metodą operacji elementarnych można przekształcić macierz U do
postaci podobnej do macierzy E , gdzie zamiast macierzy jednostkowej
I
jest macierz
trójkątna
Przykład 1
Ogólny sposób rozwiązywania układu trzech równań z trzema niewiadomymi metodą
eliminacji
a
11
x
1

a
12
x
2

a
13
x
3

b
1
a
21
x
1

a
22
x
2

a
23
x
3

b
2
a
31
x
1

a
32
x
2

a
33
x
3

b
3

a
11
a
12
a
13
b
1
a
21
a
22
a
23
b
2
a
31
a
32
a
33
b
3

U



Zakładamy, że mianowniki są różne od zera
w2
 
a
21
a
11

w1
w3
 
a
31
a
11

w1

a
11
a
12
a
13
b
1
0

a
12
a
21
a
11


a
22

a
13
a
21
a
11

a
23

a
21
b
1
a
11

b
2
0

a
12
a
31
a
11

a
32

a
13
a
31
a
11

a
33

a
31
b
1
a
11


b
3


a
12
a
31
a
11

a
32
w3
 

w2

a
12
a
21
a
11

a
22

a
11
a
12
a
13
b
1

0

a
12
a
21
a
11

a
13
a
21
a
11

a
21
b
1
a
11

a
22

a
23

b
2
0 0

a
13
a
31
a
11



a
13
a
21
a
11

a
23


a
12
a
31
a
11

a
32


a
33

a
31
b
1
a
11



a
12
a
31
a
11

a
32


a
21
b
1
a
11

b
2


b
3

a
12
a
21
a
11

a
12
a
21
a
11

a
22

a
22


3
Przykład 2
x
1

x
2

x
3

x
4

1
3x
1

x
2

3x
4

1

x
1

x
2

2x
3

x
4

1

1 1 1

1 1
3 1 0

3 1

1 1 2 1 1

U



w2
 
3

w1
w3
 
1

w1

1 1 1

1 1
0

2

3 0

2
0 2 3 0 2



w3
 
1

w2

1 1 1

1 1
0

2

3 0

2
0 0 0 0 0



Rozwiązanie:

x
1

1
2

x
3

2x
4

,x
2

1
2

2

3x
3

Przykład 3
x
1

x
2

3x
3

x
4

2

2x
1

3x
2

3x
3

2x
4

0
x
1

2x
2

x
3

3x
4

2

1 1

3 1 2

2

3 3

2 0
1 2 1 3 2

U



w2
 
2

w1
w3
 
1

w1

1 1

3 1 2
0

1

3 0 4
0 1 4 2 0



w3
 
1

w2

1 1

3 1 2
0

1

3 0 4
0 0 1 2 4



Rozwiązanie:

x
1

30

13x
4
,x
2
 
16

6x
4
,x
3

4

2x
4

4
Przykład 4
x
1

3x
2

5x
3
 
4
3x
1

2x
2

x
3

9
2x
1

x
2

4x
3

0

1 3

5

4
3 2

1 9
2

1 4 0

U



w2
 
3

w1
w3
 
2

w1

1 3

5

4
0

7 14 21
0

7 14 8



w3
 
1

w2

1 3

5

4
0

7 14 21
0 0 0

13



Rozwiązanie:
Układ sprzeczny
Przykład 4
x
1

x
2

2x
3

0
2x
1

x
2

x
3

3
3x
1

x
2

x
3

1

1 1

2 0
2 1 1 3
3 1

1 1

U



w2
 
2

w1
w3
 
3

w1

1 1

2 0
0

1 5 3
0

2 5 1



w3
 
2

w2

1 1

2 0
0

1 5 3
0 0

5

5



Rozwiązanie:

x
1

0,x
2

2,x
3

1

5
[ Pobierz całość w formacie PDF ]

  • zanotowane.pl
  • doc.pisz.pl
  • pdf.pisz.pl
  • emaginacja.xlx.pl

    •