uklady rownan cz II, Studia, Matematyka 2

[ Pobierz całość w formacie PDF ]
Układy równań liniowych
Układ m równań liniowych (tzn. 1-go stopnia) o n niewiadomych
x
,
x
,
K
ma postać:
,
x
1
2
n
a
x
+
a
x
+
K
+
a
x
=
b
⎧
11
1
12
2
1
n
n
1
⎪
⎨
K
a
x
+
a
x
+
+
a
x
=
b
21
1
22
2
2
n
n
2
(*)
K
K
K
K
⎪
⎩
⎪
a
x
+
a
x
+
K
+
a
x
=
b
m
1
1
m
2
2
mn
n
m
gdzie
,
m
,
n
∈
N
,
a
,
b
∈
R
1
≤
i
≤
m
,
1
≤
j
≤
n
ij
ij
Oznaczenia:
a
a
K
a
a
a
K
a
b
b
⎡
⎤
⎡
⎤
⎡
⎤
11
12
1
n
11
12
1
n
1
1
⎢
⎥
⎢
⎥
⎢
⎥
a
a
K
a
a
a
K
a
b
b
⎢
⎥
⎢
⎥
⎢
⎥
21
22
2
n
21
22
2
n
2
2
A
=
[
a
]
=
,
U
=
,
B
=
ij
⎢
M
M
M
M
⎥
⎢
M
M
M
M
M
⎥
⎢
M
⎥
⎢
⎥
⎢
⎥
⎢
⎥
a
a
K
a
a
a
K
a
b
b
⎣
⎦
⎣
⎦
⎣
⎦
m
1
m
2
mn
m
1
m
2
mn
m
m
A
– macierz
główna
U
– macierz
uzupełniona
B – macierz (kolumnowa)
wyrazów wolnych
Definicja
Rzędem macierzy o wymiarze m×n nazywamy:
- zero jeśli jest to macierz zerowa,
- liczbę równą najwyższemu ze stopni jej różnych od zera wyznaczników jeśli jest to macierz niezerowa.
Rząd macierzy A oznaczamy R(A).
Twierdzenie
Rząd macierzy nie ulega zmianie jeśli:
- kolumny (wiersze) pomnożymy przez liczbę różną od zera,
- przestawimy kolumny (wiersze),
- do jednej kolumny (wiersza) dodamy kombinację liniową pozostałych kolumn (wierszy).
Zad. Oblicz rząd macierzy
235
112
0
a)
235
112
0
=0
23
11
2310
R(A)=2
1236
31
24
41
510
10
12
01
12
00
00
b)
10
01
10
R(A)=2
1
⎡
1
2
3
⎤
det =
A
0
bo
III
-
cia
kolumna
⎢
⎥
c)
A
=
0
1
1
⎢
⎥
jest
sumą
I
i
II.
⎢
⎥
2
i
2
+
i
⎣
⎦
1
2
Dało się wybrać minor ≠
0
stopnia 2 więc
R(A) = 2.
=
1
≠
0
0
1
⎡
1
2
3
6
⎤
⎡
1
2
3
0
⎤
⎡
1
2
0
0
⎤
1
2
⎢
⎥
R
⎢
⎥
R
⎢
⎥
d)
A
=
3
−
1
2
4
=
3
−
1
2
0
=
3
−
1
0
0
=
−
7
≠
0
R
(
A
)
=
2
⎢
⎥
⎢
⎥
⎢
⎥
3
1
⎢
⎥
⎢
⎥
⎢
⎥
4
1
5
10
4
1
5
0
4
1
0
0
⎣
⎦
⎣
⎦
⎣
⎦
Dany jest układ równań:
…
…
(*)
…
…
A - macierz główna
U - macierz rozszerzona
Twierdzenie Kroneckera- Capellego
Podany układ (*) jest rozwiązalny wtedy i tylko wtedy gdy
,
przy czym:
1.
jeśli
, (n- liczna niewiadomych) to układ ma dokładnie jedno rozwiązanie,
2.
jeśli
, (n- liczna niewiadomych) to układ ma nieskończenie wiele rozwiązań
zależnych od
parametrów.
ł
 
ł ł ą
 
ł ń ąń
 
ż
摩
ó
 
⎧
2
x
−
y
+
z
=
2
⎨
Przykład 1
Sprawdź czy układ
⎩
ma rozwiązania.
x
+
y
−
3
z
=
−
1
3
x
−
3
y
+
5
z
=
0
⎡
2
−
1
1
⎤
⎡
2
−
1
1
2
⎤
⎢
⎥
⎢
⎥
A
=
1
1
−
3
C
=
1
1
−
3
−
1
⎢
⎥
⎢
⎥
⎢
⎥
⎢
⎥
3
−
3
5
3
−
3
5
0
⎣
⎦
⎣
⎦
2
−
1
det
A
=
10
−
9
−
3
−
3
−
18
+
5
=
0
=
2
+
1
=
3
≠
0
R
(
A
)
=
2
1
1
2
−
1
1
2
R(C)?
1
−
3
−
1
=
10
−
18
−
5
≠
0
R
(
C
)
=
3
−
3
5
0
() ()
⇒
układ sprzeczny.
R
A
≠
C
R
⎧
2
x
−
y
=
3
⎨
Przykład 2
Znajdź ( o ile istnieją) rozwiązania układu
⎩
x
+
2
y
=
−
1
3
x
+
y
=
2
2
−
1
2
−
1
3
⎡
⎤
⎡
⎤
⎢
⎥
⎢
⎥
A
=
1
2
C
=
1
2
−
1
⎢
⎥
⎢
⎥
⎢
⎥
⎢
⎥
3
1
3
1
2
⎣
⎦
⎣
⎦
2
−
1
3
2
−
1
()
()
2
=
4
+
1
=
5
R
A
=
2
1
2
−
1
=
8
+
3
+
3
−
18
+
2
+
2
=
0
R
C
=
1
2
3
1
2
R(A)=R(C)=
ilości niewiadomych ⇒ układ jednoznaczny
2
x
−
y
=
3
⎧
A
=
5
x
+
2
y
=
−
1
3
−
1
2
3
W
=
=
6
−
1
=
5
W
=
=
−
2
−
3
=
−
5
x
Y
−
1
2
1
−
1
5
−
5
x
=
=
1
y
=
=
−
1
5
5
⎧
x
+
2
y
−
z
=
1
⎨
Przykład 3
Znajdź ( o ile istnieją) rozwiązania układu
⎩
2
x
−
y
+
2
z
=
3
3
x
+
y
+
z
=
4
⎡
1
2
−
1
⎤
⎡
1
2
−
1
1
⎤
⎢
⎥
⎢
⎥
rzędy macierzy są ≠3 ponieważ IIIw=Iw+IIw
A
=
2
−
1
2
C
=
2
−
1
2
3
⎢
⎥
⎢
⎥
⎢
⎥
⎢
⎥
3
1
1
3
1
1
4
⎣
⎦
⎣
⎦
1
2
ilośl
niewiadomy
ch
=
−
5
≠
0
R
(
A
)
=
R
(
C
)
=
2
≠
3
−
2
−
1
3
−
2
=
1
parametr
z
=
a
x
+
2
y
=
1
+
a
⎧
2
x
−
y
=
3
−
2
a
1
+
a
2
1
1
+
a
W
=
=
−
1
−
a
−
6
+
4
a
=
3
a
−
7
W
=
=
3
−
2
a
−
2
−
2
a
=
−
4
a
+
1
X
Y
3
−
2
a
−
1
2
3
−
2
a
⎧
3
a
−
7
3
7
el.
Gaussa
x
=
=
−
a
+
⎪
−
5
5
5
⎪
4
a
−
1
7
−
3
a
⎧
−
4
a
+
1
4
1
x
+
2
y
=
1
+
a
x
=
1
+
a
−
2
=
⎪
⎨
y
=
=
a
−
⎨
5
5
−
5
5
5
⎪
4
a
−
1
↑
⎪
⎪
z
=
a
−
5
y
=
1
−
4
a
→
y
=
5
⎪
⎩
⎩
3
⎧
3
x
−
2
y
+
z
=
b
⎨
Przykład 4
Dla jakich wartości parametrów
a
i
b
układ
⎩
jest jednoznaczny, dla jakich
5
x
−
8
y
+
9
z
=
3
2
x
+
y
+
az
=
−
1
sprzeczny, a dla jakich niejednoznaczny.
3
−
2
1
3
−
2
1
b
⎡
⎤
⎡
⎤
⎢
⎥
⎢
⎥
A
=
5
−
8
9
C
=
5
−
8
9
3
⎢
⎥
⎢
⎥
⎢
⎥
⎢
⎥
2
1
a
2
1
a
−
1
⎣
⎦
⎣
⎦
det
A
=
−
14
a
−
42
det
A
≠
0
⇒
−
14
a
−
42
≠
0
⇒
a
≠
−
3
() ()
det
A
≠
0
R
A
=
R
C
=
3
−
liczba
niewiadomy
ch
1
0
a
≠
-3
układ oznaczony
(jednoznaczny)
2
0
a = -3
−
2
1
b
−
8
9
3
=
15
b
−
5
1
−
3
−
1
a
1
()
()
2
15
b
−
5
≠
0
⇒
b
≠
⇒
R
C
=
3
R
A
=
3
2a
0
a = -3
b
≠
1/3
układ sprzeczny
1
()
()
2
b
=
R
C
=
2
R
A
=
3
2b
0
a = -3
b=1/3
układ nieoznaczony
rozwiązanie zależy od
3 – 2 = 1
parametru
ax
+
y
=
1
⎧
⎨
Przykład 5
Zbadaj rozwiązalność układu
⎩
w zależności od parametru a
3
x
−
y
=
1
x
+
y
=
a
a
1
a
1
1
⎡
⎤
⎡
⎤
⎢
⎥
⎢
⎥
A
=
3
−
1
C
=
3
−
1
1
⎢
⎥
⎢
⎥
⎢
⎥
⎢
⎥
1
1
1
1
a
⎣
⎦
⎣
⎦
C
=
−
a
2
+
1
+
3
+
1
−
a
−
3
a
=
−
a
2
−
4
a
+
5
=
0
∆
=
16
+
20
=
36
∆
=
6
4
−
6
4
+
6
a
=
=
1
a
=
=
−
5
1
−
2
2
−
2
1
0
()
3
a
≠
1
∧
a
≠
−
5
C
≠
0
R
C
=
R(C)
≠
R(A)
sprzeczny
2
0
a
=
1
∨
a
=
−
5
C
=
0
R
(
C
)
≠
3
R(A) = 2 = R(C) = n
⇒
układ jednoznaczny
4
 Def.
Nasz układ nazywamy jednorodnym, jeżeli
b
i
= 0 i = 1,...,m.
1
0
Układ jednorodny nigdy nie jest układem sprzecznym, bo dołączenie do macierzy kolumny z samych
zer nie zmienia jej rzędu.
2
0
Układ jednorodny, gdy jest układem Cramera
R(A) = R(C) = n
posiada jedynie rozwiązanie zerowe.
Gdy
R(A) < n
to ma również rozwiązanie niezerowe
zależne od
n – r
parametrów.
Przykład
Dla jakiej wartości parametru
a
układ ma niezerowe rozwiązanie.
ax
−
y
+
z
=
0
a
−
1
1
⎧
⎨
x
+
ay
−
z
=
0
A
=
1
a
−
1
=
−
a
2
+
2
−
1
−
2
a
−
a
−
1
=
a
2
−
3
a
⎩
2
x
−
y
−
z
=
0
2
−
1
−
1
Aby układ jednorodny miął niezerowe rozwiązanie, musimy mieć
det A = 0
Zatem
−
a
2
−
3
a
=
0
−
a
(
a
+
3
=
0
a
=
0
lub
a
=
−
3
Np.
a = -3
⎧
−
3
x
−
y
+
z
=
0
1
−
3
⎨
x
−
3
y
−
z
=
0
=
−
1
+
6
=
5
2
−
1
⎩
2
x
−
y
−
z
=
0
z
−
3
w
=
=
−
z
+
3
z
=
2
z
⎧
z
=
z
x
z
−
1
⎨
x
−
3
y
=
z
1
z
⎩
2
x
−
y
=
z
w
=
=
z
−
2
z
=
−
z
y
2
z
⎧
2
x
=
z
⎪
2
1
5
⎪
z
=
1
x
=
y
=
−
1
5
5
przykładowe rozwiązania
y
=
−
z
⎨
z
=
5
x
=
2
y
=
−
1
5
⎪
M
⎪
z
=
z
M
M
⎪
⎩
−
6
1
spr.
z
+
z
+
z
=
0
5
5
2
3
z
+
z
−
z
=
0
5
5
4
1
z
+
z
−
z
=
0
5
5
5
[ Pobierz całość w formacie PDF ]

  • zanotowane.pl
  • doc.pisz.pl
  • pdf.pisz.pl
  • emaginacja.xlx.pl

    •