Uklady Dynamiczne--Wilczak--p3, Uklady Dynamiczne

[ Pobierz całość w formacie PDF ]
7.Układydynamiczne
Układydynamicznetoszerokidziałmatematykizajmuj¡cysi¦badaniemzmianpewnego
systemuwczasie.Jakoprostyprzykładmo»naprzedstawi¢map¦pogody,gdziepoda-
wanyjestnp.prognozowanystopie«zachmurzeniawgodzinnychodst¦pach.Takiukład
nazwiemy
dyskretnym
zewzgl¦dunanieci¡gło±¢czasu(cogodzin¦).Gdyby±mypodawali
stanzachmurzeniawczasieci¡głym-mówiliby±mypoprostuoukładziedynamicznym.
Formalnedefinicjezostan¡podanewdalszejcz¦±ci.Bardzowa»nymprzykładems¡pr-
zekształceniaanalitycznenapłaszczy¹niezespolonej.
7.1.
Podstawowedefinicje.
Niechdanab¦dzieprzestrze«metryczna(X,d)orazfunkc-
ja:
R
×X−!X.Dlaustalonegot2
R
oznaczamy
t
:X3x−!(t,x)2X.
Definicja.7.1.
Mówimy,»e
jest
układemdynamicznym
(lub
potokiem
)na
X
je»elispełnianast¦puj¡cewarunki:
(1)
jestci¡głe
(2)
0
jestidentyczno±ci¡(
0
(x)=x
)
(3)8t,s2
R
t+s
=
t
s
.
Wprzestrzenimetrycznej(X,d)niechf:X−!Xb¦dziedowolnym,ci¡głymprzeksz-
tałceniem.
Definicja.7.2.
Punkt
x
0
2X
nazywamy
•
punktem
stałym
odwzorowania
f
,je±li
f(x
0
)=x
0
•
punktem
okresowym
,je»eliistnieje
p>0
takie,»e
f
p
(x
0
)=x
0
.Wtedyzbiór
{x
0
,f(x
0
),...,f
p−1
(x
0
)}
nazywamy
orbit¡okresow¡
.Najmniejsz¡zliczb
p
otej
własno±cinazywamy
okresempodstawowym
.
•
punktem
preokresowym
,je»eliistnieje
n2
N
takie,»e
f
n
(x)
jestpunktemokre-
sowym
Zbiórpunktówstałychb¦dziemyoznacza¢przez
Fix(f,X)
,okresowychprzez
Per(f,X)
orazpreokresowychprzez
Pre(f,X)
.Cz¦stob¦dziemyopuszcza¢zbiór
X
,je»elinieb¦dzie
toprowadzi¢donie±cisło±ci.
Uwaga.7.3.
Łatwozauwa»y¢,»ezachodz¡nast¦puj¡ceimplikacje
x2Fix(f)=)x2Per(f)=)x2Pre(f)
Ponadto,je»elifjesthomeomorfizmem(tzn.jestfunkcj¡odwracaln¡orazodwrotna
f
−1
jestci¡gła)tozachodzirównowa»no±¢
x2Pre(f)()x2Per(f)
OdwzorowaniefindukujedyskretnysemiukładdynamicznynaX.Ka»dypunktx2X
posiadaswoj¡dodatni¡
trajektori¦
o
+
f
(x)={f
m
(x)}
m2
N
orazprzeciwobrazf
−1
(x)=
{y2X:f(y)=x}(mo»eby¢pusty).Ka»dyci¡g{...y
−k
,y
−k+1
,...,y
−1
,x},dlaktórego
f(y
−i
)=y
−i+1
orazf(y
−1
)=xnazywamy
ujemn¡półtrajektori¡
punktux.Je»elif
jestodwracalne,toistniejedokładniejednaujemnapółtrajektoriaioznaczamyj¡o
−
f
(x).
Definicja.7.4.
Zbiór
[
(7.1)
T
−
f
(x)=
f
−k
(x){y2X:9k0,f
k
(y)=x}
k=0
nazywamy
pełn¡ujemn¡półtrajektori¡punktux
.
1
1
2
DlapodzbioruIXokre±lamyf(I)={f(x):x2I}
Definicja.7.5.
Podzbiór
IX
nazywamy
•
dodatnioniezmienniczym
,je±li
f(I)I
•
niezmienniczym
,je±li
f(I)[f
−1
(I)I
DlaAXokre±lamy
dodatnizbiórgraniczny
jako
\
(7.2)
!
f
(A)=
cl(f
k
(A))
k=0
Wszczególno±ci,gdyA={x
0
}jestjednympunktemoznaczamydodatnizbiórgraniczny
punktux
0
przez!
f
(x
0
).Dzi¦kirozwojowitechnikkomputerowychokazałosi¦,»edlasze-
rokiejklasyodwzorowa«zbiorygranicznemaj¡bardzozło»on¡struktur¦.Cz¦stookre±la
si¦jemianem”dziwnychatraktorów”.Mo»napokaza¢,»es¡oneniezmiennicze.Wzwi¡z-
kuztymcz¦stozaw¦»asi¦badaniefunkcjidotegoatraktora.Wedługdefinicjipodanej
przezDevaney’aiprzeformułowanejprzezJ.BanksaiJ.Brooksaprzekształceniefjest
chaotyczne
,je»elijesttopologicznietranzytywneorazzbiórorbitokresowychjestg¦s-
ty.Oczywi±cieniejesttojedynadefinicjachaosu.Wkonkretnychprzypadkachbardzo
trudnoudowodni¢istnienietegorodzajuchaosu.Wykazanieistnieniatopologicznejtran-
zytywno±ciorazistnienianiesko«czeniewieluorbitokresowychjestju»wyznacznikiem
skomplikowanejdynamiki.Takierezultatyudałosi¦pokaza¢wostatnichlatachdlapew-
nych,klasycznychju»przykładów.
Przykład.
OdwzorowanieH´enona
Rozwa»mydyfeomorfizmpłaszczyznydanywzorem
x
0
=by+1−ax
2
, y
0
=x
Dlawarto±ciparametrówa=1.4orazb=0.3wykazujeonbardzoskomplikowan¡dyna-
mik¦.Mo»narównie»zaobserwowa¢numerycznie”dziwnyatraktor”.W1997roku
Piotr
Zgliczy«ski
udowodniłistnieniezbioruniezmienniczego,naktórymdynamikategoodw-
zorowaniajestbardzozło»ona(Nonlinearity
10
(1997)243-252).Wszczególno±ciudało
si¦pokaza¢istnienieniesko«czeniewieluorbitokresowychowszystkichokresachpostaci
7ndlan2
N
.Sformułowaniepełnychtwierdze«wykraczapozazakreswykładu.
Przykład.
Odwzorowanielogistyczne
Rozwa»myrodzin¦przekształce«odcinkadlaµ2[0,4].
(7.4)
f
µ
:[0,1]3x−!µx(1−x)2[0,1]
Badaniedynamikitegoodwzorowaniawykazałojejogromn¡zło»ono±¢.Dlaparametrów
µ2[3,4]pojawiasi¦corazwi¦kszaliczbaorbitokresowychwedługpewnegoschematubi-
furkacyjnego.Najpierwpojawiasi¦stabilna(patrznast¦pnypodrozdział)orbitaookresie
dwa,któratrac¡cstabilno±¢bifurkujewstabiln¡orbit¦ookresiecztery,taznówbifurkuje
worbit¦ookresieosiemitd.Pełnychaosudałosi¦udowodni¢dlaparametruµ=4.
1
(7.3)
DanielWilczak-
Fraktale 3
Przyomawianiuprzekształce«odcinkaniesposóbniewspomnie¢otwierdzeniucharak-
teryzuj¡cympojawianiesi¦orbitokresowych.Wprowadzimywzbiorzeliczbnaturalnych
nast¦puj¡cyporz¡dek:
3579...3·25·27·2...3·2
2
5·2
2
7·2
2
...
3·2
3
5·2
3
7·2
3
...2
4
2
3
2
2
21
Twierdzenie.7.6.(Szarkowski)
Niech
I
R
b¦dzieprzedziałemoraz
f:I−!I
b¦dziepewn¡funkcj¡ci¡gł¡.Je»eliistniejeorbitaokresowaookresientoistniej¡orbity
okresoweowszystkichokresachmoile
nm
.Wszczególno±ci,je»eliistniejeorbitao
okresietrzytoistniej¡równie»orbityowszystkichmo»liwychnaturalnychokresach.
Twierdzenieto,niezbyttrudnewdowodzie,byłoobiektemzainteresowa«wielumate-
matyków.Próbowanopozby¢si¦bardzosilnegozało»eniajednowymiarowo±ci.W1997
rokuudałosi¦udowodni¢(
PiotrZgliczy«ski
)pewneuogólnienietegotwierdzeniana
przestrzenieBanacha.Ponownie,sformułowanietwierdze«wykraczapozaramywykładu.
7.2.
Odwzorowaniaanalityczne.
Ró»niczkowalnefunkcjezespolonef:
C
−!
C
b¦d-
ziemynazywa¢odwzorowaniamianalitycznymi.Wieleznichprowadzidouzyskaniabard-
zociekawychobrazówzwi¡zanychztzw.basenamiprzyci¡gania,zbioramiMandelbrota
czyte»zbioramiJulii.
[ Pobierz całość w formacie PDF ]

  • zanotowane.pl
  • doc.pisz.pl
  • pdf.pisz.pl
  • emaginacja.xlx.pl

    •