Uklady Dynamiczne-p3, Uklady Dynamiczne

[ Pobierz całość w formacie PDF ]
//-->7.Układy dynamiczneUkłady dynamiczne to szeroki dział matematyki zajmujący się badaniem zmian pewnegosystemu w czasie. Jako prosty przykład można przedstawić mapę pogody, gdzie poda-wany jest np. prognozowany stopień zachmurzenia w godzinnych odstępach. Taki układnazwiemydyskretnymze względu na nieciągłość czasu (co godzinę). Gdybyśmy podawalistan zachmurzenia w czasie ciągłym - mówilibyśmy po prostu o układzie dynamicznym.Formalne definicje zostaną podane w dalszej części. Bardzo ważnym przykładem są pr-zekształcenia analityczne na płaszczyźnie zespolonej.7.1.Podstawowe definicje.Niech dana będzie przestrzeń metryczna(X,d)oraz funkc-jaφ:R×X−→X.Dla ustalonegot∈Roznaczamyφt:X x−→φ(t, x)∈X.Definicja. 7.1.Mówimy, żeφjestukładem dynamicznym(lubpotokiem)naXjeżeli spełnia następujące warunki:(1)φjest ciągłe(2)φjest identycznością (φ(x) =x)(3)∀t,s∈Rφt+s=φt◦φs.W przestrzeni metrycznej(X,d)niechf:X−→Xbędzie dowolnym, ciągłym przeksz-tałceniem.Definicja. 7.2.Punktx∈Xnazywamy•punktemstałymodwzorowaniaf, jeślif(x) =x•punktemokresowym,jeżeli istniejep >takie, żefp(x) =x. Wtedy zbiór{x, f(x),. . . , fp−1(x)}nazywamyorbitą okresową.Najmniejszą z liczbpo tejwłasności nazywamyokresem podstawowym.•punktempreokresowym,jeżeli istniejen∈Ntakie, żefn(x)jest punktem okre-sowymZbiór punktów stałych będziemy oznaczać przezFix(f,X),okresowych przezPer(f,X)oraz preokresowych przezPre(f,X).Często będziemy opuszczać zbiórX,jeżeli nie będzieto prowadzić do nieścisłości.Uwaga. 7.3.Łatwo zauważyć, że zachodzą następujące implikacjex∈Fix(f ) =⇒x∈Per(f ) =⇒x∈Pre(f )Ponadto, jeżeli f jest homeomorfizmem (tzn. jest funkcją odwracalną oraz odwrotnaf−1jest ciągła) to zachodzi równoważnośćx∈P re(f)⇐⇒x∈P er(f)Odwzorowaniefindukuje dyskretny semiukład dynamiczny naX.Każdy punktx∈Xposiada swoją dodatniątrajektorięo+(x) ={fm(x)}m∈Noraz przeciwobrazf−1(x) =f{y ∈X:f(y) =x}(może być pusty). Każdy ciąg{.. . y−k, y−k+1, . . . , y−1, x},dla któregof(y−i) =y−i+1orazf(y−1) =xnazywamyujemną półtrajektoriąpunktux.Jeżelifjest odwracalne, to istnieje dokładnie jedna ujemna półtrajektoria i oznaczamy jąo−(x).fDefinicja. 7.4.Zbiór∞(7.1)−Tf(x)=k=0f−k(x)≡ {y ∈X:∃k ≥0,fk(y) =x}nazywamypełną ujemną półtrajektorią punktu x.12Dla podzbioruI⊂Xokreślamyf(I) ={f(x) :x∈I}Definicja. 7.5.PodzbiórI⊂Xnazywamy•dodatnio niezmienniczym,jeślif(I)⊂I•niezmienniczym,jeślif(I)∪f−1(I)⊂IDlaA⊂Xokreślamydodatni zbiór granicznyjako∞(7.2)ωf(A) =k=0cl(fk(A))W szczególności, gdyA={x}jest jednym punktem oznaczamy dodatni zbiór granicznypunktuxprzezωf(x).Dzięki rozwojowi technik komputerowych okazało się, że dla sze-rokiej klasy odwzorowań zbiory graniczne mają bardzo złożoną strukturę. Często określasię je mianem ”dziwnych atraktorów”. Można pokazać, że są one niezmiennicze. W związ-ku z tym często zawęża się badanie funkcji do tego atraktora. Według definicji podanejprzez Devaney’a i przeformułowanej przez J.Banksa i J.Brooksa przekształceniefjestchaotyczne,jeżeli jest topologicznie tranzytywne oraz zbiór orbit okresowych jest gęs-ty. Oczywiście nie jest to jedyna definicja chaosu. W konkretnych przypadkach bardzotrudno udowodnić istnienie tego rodzaju chaosu. Wykazanie istnienia topologicznej tran-zytywności oraz istnienia nieskończenie wielu orbit okresowych jest już wyznacznikiemskomplikowanej dynamiki. Takie rezultaty udało się pokazać w ostatnich latach dla pew-nych, klasycznych już przykładów.Przykład.Odwzorowanie H´nonaeRozważmy dyfeomorfizm płaszczyzny dany wzorem(7.3)x=by+ 1−ax2,y=xDla wartości parametrówa= 1.4orazb= 0.3wykazuje on bardzo skomplikowaną dyna-mikę. Można również zaobserwować numerycznie ”dziwny atraktor”. W 1997 rokuPiotrZgliczyńskiudowodnił istnienie zbioru niezmienniczego, na którym dynamika tego odw-zorowania jest bardzo złożona (Nonlinearity10(1997)243-252). W szczególności udałosię pokazać istnienie nieskończenie wielu orbit okresowych o wszystkich okresach postaci7ndlan∈N.Sformułowanie pełnych twierdzeń wykracza poza zakres wykładu.Przykład.Odwzorowanie logistyczneRozważmy rodzinę przekształceń odcinka dlaµ∈[0, 4].(7.4)fµ: [0, 1]x−→µx(1−x)∈[0, 1]Badanie dynamiki tego odwzorowania wykazało jej ogromną złożoność. Dla parametrówµ∈[3, 4]pojawia się coraz większa liczba orbit okresowych według pewnego schematu bi-furkacyjnego. Najpierw pojawia się stabilna (patrz następny podrozdział) orbita o okresiedwa, która tracąc stabilność bifurkuje w stabilną orbitę o okresie cztery, ta znów bifurkujew orbitę o okresie osiem itd. Pełny chaos udało się udowodnić dla parametruµ= 4.Daniel Wilczak -Fraktale3Przy omawianiu przekształceń odcinka nie sposób nie wspomnieć o twierdzeniu charak-teryzującym pojawianie się orbit okresowych. Wprowadzimy w zbiorze liczb naturalnychnastępujący porządek:3579...3·2 5·2 7·2...3·235·237·233·225·22. . .24237·22. . .222 1Twierdzenie. 7.6. (Szarkowski)NiechI⊂Rbędzie przedziałem orazf:I−→Ibędzie pewną funkcją ciągłą. Jeżeli istnieje orbita okresowa o okresie n to istnieją orbityokresowe o wszystkich okresach m o ilenm.W szczególności, jeżeli istnieje orbita ookresie trzy to istnieją również orbity o wszystkich możliwych naturalnych okresach.Twierdzenie to, niezbyt trudne w dowodzie, było obiektem zainteresowań wielu mate-matyków. Próbowano pozbyć się bardzo silnego założenia jednowymiarowości. W 1997roku udało się udowodnić (PiotrZgliczyński)pewne uogólnienie tego twierdzenia naprzestrzenie Banacha. Ponownie, sformułowanie twierdzeń wykracza poza ramy wykładu.7.2.Odwzorowania analityczne.Różniczkowalne funkcje zespolonef:C−→Cbęd-ziemy nazywać odwzorowaniami analitycznymi. Wiele z nich prowadzi do uzyskania bard-zo ciekawych obrazów związanych z tzw. basenami przyciągania, zbiorami Mandelbrotaczy też zbiorami Julii. [ Pobierz całość w formacie PDF ]

  • zanotowane.pl
  • doc.pisz.pl
  • pdf.pisz.pl
  • emaginacja.xlx.pl

    •