Układ belkowo-kratowy, Budownictwo Studia, Mechanika(1)

[ Pobierz całość w formacie PDF ]
Przykład 2.3 Układ belkowo-kratowy.
Dany jest układ belkowo-kratowy, który składa się z belki o stałej sztywności
EJ
i części
kratowej złożonej z prętów o stałej sztywności
EA
, obciążony jak na rysunku. Wyznaczyć
przemieszczenie pionowe przegubu B belki i przemieszczenie poziome węzła 2 części
kratowej. Wpływ sił normalnych w belce pominąć.
Rys.1. Schemat statyczny układu złożonego
Przemieszczenia wyznaczymy stosując metodę Maxwella-Mohra, korzystając ze wzoru
4
l
M
M
1
ds
5
l
i
N
N
1
ds
1
4
l
i
1
5
w
=
∑
∑
∫
=
=
∑
∫
=
+
∑
=
∫
zi
zi
i
+
i
i
i
M
M
1
dx
N
i
l
1
(1)
E
J
E
A
EJ
zi
zi
EA
i
i
i
=
1
0
i
zi
i
1
0
i
i
i
1
0
i
1
N
- siła normalna w i-tym pręcie kratownicy od siły jednostkowej przyłożonej w
i
N
węźle kratownicy lub punkcie belki, której kierunek pokrywa się z kierunkiem
poszukiwanego przemieszczenia,
1
i
M
zi
- moment gnący w i-tym przedziale belki od obciążenia zewnętrznego,
M
węźle kratownicy lub przekroju belki, której kierunek pokrywa się z kierunkiem
poszukiwanego przemieszczenia,
- długość i-tego pręta kratownicy lub przedziału belki.
i
1
zi
- moment gnący w i-tym przedziale belki od siły jednostkowej przyłożonej w
l
I.
Wyznaczenie przemieszczenia pionowego v przegubu B belki.
1.
Obliczenie reakcji, sił normalnych w prętach i sporządzenie wykresu momentów gnących
od obciążenia zewnętrznego.
Z warunków równowagi dla układu złożonego wyznaczamy reakcje podpór
∑
M
=
0
→
−
V
⋅
2
l
+
q
⋅
2
l
⋅
l
=
0
→
V
=
1
ql
C
A
A
2
3
∑
P
=
0
→
−
V
−
R
+
q
⋅
2
l
=
0
→
R
=
ql
iy
A
C
C
2
∑
P
=
0
→
H
A
=
0
1
i
N
gdzie: w
- przemieszczenie dowolnego węzła kratownicy lub punktu belki,
- siła normalna w i-tym pręcie kratownicy od obciążenia zewnętrznego,
ix
W celu wyznaczenia siły pręcie 1-2 części kratowej układu dzielimy układ belkowo-kra-
towy na 2 części, dokonując przecięcia przez przegub B i pręt 1-2.
Rys. 2. Schemat statyczny lewej części układu belkowo-kratowego
Z warunku równowagi dla tej części otrzymujemy
∑
M
l
B
=
0
→
−
V
A
⋅
2
l
+
S
1
−
2
⋅
l
=
0
→
S
1
−
2
=
2
V
A
=
ql
Z warunków równowagi węzła 1 wyznaczamy siły w prętach 1-A i 1-3
∑
P
=
0
→
S
−
S
⋅
2
=
0
→
S
=
2
ql
ix
1
−
2
1
−
A
2
1
−
A
∑
P
=
0
→
−
S
−
S
⋅
2
=
0
→
S
=
−
ql
iy
1
−
3
1
−
A
2
1
−
3
Z uwagi na symetrię części kratowej układu siły w prętach 2-C i 2-4 są odpowiednio
równe siłom w prętach 1-A i 1-3
S
2
C
=
S
1
−
A
=
2
ql
S
1
−
3
=
S
2
−
4
=
−
ql
Otrzymane wyniki zestawiono w tabeli 1 (kolumna 3).
Wykorzystując przeprowadzone obliczenia sporządzamy wykres momentów gnących od
obciążenia zewnętrznego.
Rys. 3. Wykres momentów gnących (belka) od obciążenia zewnętrznego.
2
−
2.
Obliczenie reakcji, sił normalnych w prętach i sporządzenie wykresu momentów gnących
od siły jednostkowej przyłożonej w przegubie B, której kierunek pokrywa się z kierun-
kiem poszukiwanego przemieszczenia.
Rys.4. Schemat statyczny
Z warunków równowagi dla układu złożonego wyznaczamy reakcje podpór
∑
M
1
=
0
→
−
V
1
⋅
2
l
+
1
⋅
2
l
=
0
→
V
1
=
1
C
A
A
2
1
∑
P
1
=
0
→
−
V
1
−
R
1
+
1
=
0
→
R
1
=
iy
A
C
C
2
∑
P
1
=
0
→
H
1
=
0
ix
A
W celu wyznaczenia siły pręcie 1-2 części kratowej dzielimy układ belkowo-kratowy na
2 części, dokonując przecięcia przez przegub B i pręt 1-2.
Rys. 5. Schemat statyczny lewej części układu belkowo-kratowego
∑
M
l
B
=
0
→
−
V
1
⋅
2
l
+
S
1
⋅
l
=
0
→
S
1
=
2
V
1
=
1
A
1
−
2
1
−
2
A
Z warunków równowagi węzła 1 wyznaczamy siły w prętach 1-A i 1-3
∑
P
1
=
0
→
S
1
−
S
1
1
⋅
2
=
0
→
S
1
1
=
2
ix
1
−
2
−
A
2
−
A
∑
P
1
=
0
→
−
S
1
−
S
1
1
⋅
2
=
0
→
S
1
=
−
1
iy
1
−
3
−
A
2
1
−
3
Z uwagi na symetrię części kratowej układu siły w prętach 2-B i 2-4 są odpowiednio
równe siłom w prętach 1-A i 1-3
S
1
2
=
S
1
1
=
2
S
1
=
S
1
=
−
−
C
−
A
1
−
3
2
−
4
Otrzymane wyniki zestawiono w tabeli 1 (kolumna 4).
3
1
1
N
N
1
l
Tabela 1. Zestawienie wartości sił oraz i wyrażeń
N
N
1
i
i
i
i
oraz ich sumy.
i
A
i
(znak „
-
” oznacza ściskanie pręta)
Pręt
l
i
[m]
N
i
[N]
N
[N]
1
i
N
N
1
l
[MN/m]
i
i
i
1-A
2
2
ql
2
2
ql
2
2
1-3
l
-
ql
-
1
ql
2
1-2
2l
ql
1
2
ql
2
2-4
l
-
ql
-
1
ql
2
2-C
2
2
ql
2
2
ql
2
2
∑
=
5
4
( )
2
2
+
1
ql
N
N
1
l
=
i
i
i
i
1
Wykorzystując przeprowadzone obliczenia sporządzamy wykres momentów gnących od
obciążenia jednostkowego.
Rys. 6. Wykres momentów gnących (belka) od obciążenia zewnętrznego.
3.
Obliczenie przemieszczenia pionowego
v
przegubu B belki.
Wykorzystując wzór (1) i przeprowadzone obliczenia otrzymujemy
1
4
l
1
5
+
∑
=
v
=
∑
∫
=
M
M
1
dx
N
i
l
N
1
=
B
EJ
zi
zi
EA
i
i
i
1
0
i
1
1

1
2
1
2
1
1
1

1
( )
ql
4
4
( )
EA
2
+
1
ql
2
=

2
⋅
ql
2
⋅
l
⋅
⋅
l
−
2
⋅
⋅
ql
2
⋅
l
⋅
⋅
l

+
2
2
+
2
ql
2
=
+
EJ
2
3
2
3
8
2
2
EA
8
EJ
Całki policzono metodą całkowania graficznego. Otrzymany wynik końcowy ze znakiem
plus oznacza, że zwrot wektora przemieszczenia jest zgodny z założonym zwrotem siły jedno-
stkowej (Rys. 4).
II.
Wyznaczenie przemieszczenia poziomego węzła 2.
1.
Obliczenie reakcji, sił normalnych w prętach i sporządzenie wykresu momentów gnących
od siły jednostkowej, odpowiadającej poszukiwanemu przemieszczeniu, przyłożonej do
węzła 2.
4
i
Rys. 7. Schemat statyczny
Z warunków równowagi dla układu złożonego wyznaczamy reakcje podpór
∑
P
1
=
0
→
H
1
−
1
=
0
→
H
1
=
1
ix
A
A
1
∑
M
1
=
0
→
R
1
⋅
4
l
−
1
⋅
l
=
0
→
R
1
=
A
B
B
4
1
∑
P
1
=
0
→
V
1
−
R
1
=
0
→
V
1
=
iy
A
C
A
4
W celu wyznaczenia siły pręcie 1-2 kratowej dzielimy układ belkowo-kratowy na 2
części, dokonując przecięcia przez przegub B i pręt 1-2.
Rys. 8. Schemat statyczny lewej części układu złożonego
∑
M
l
B
=
0
→
V
1
⋅
2
l
−
S
1
⋅
l
=
0
→
S
1
=
2
V
1
=
1
A
1
−
2
1
−
2
A
2
Z warunków równowagi węzła 1 wyznaczamy siły w prętach 1-A i 1-3
∑
P
1
=
0
→
−
S
1
−
S
1
1
⋅
2
=
0
→
S
1
1
=
−
1
2
ix
1
−
2
−
A
2
−
A
2
∑
P
1
=
0
→
−
S
1
+
S
1
1
⋅
2
=
0
→
S
1
=
1
iy
1
−
3
−
A
2
1
−
3
2
Z warunków równowagi węzła 2 wyznaczamy siły w prętach 2-C i 2-4
∑
P
1
=
0
→
S
1
−
1
+
S
1
2
⋅
2
=
0
→
S
1
2
=
1
2
ix
1
−
2
−
C
2
−
C
2
∑
P
1
=
0
→
−
S
1
−
S
1
2
⋅
2
=
0
→
S
1
=
−
1
iy
2
−
4
−
C
2
2
−
4
2
Otrzymane wyniki zestawiono w tabeli 2 (kolumna 4).
5
1
[ Pobierz całość w formacie PDF ]

  • zanotowane.pl
  • doc.pisz.pl
  • pdf.pisz.pl
  • emaginacja.xlx.pl

    •