uklady rownan liniowych, matematyka 1SD

[ Pobierz całość w formacie PDF ]
Uk“adyr
ó
wna«liniowych
Wyk“adnr4(In»ynieriasanitarna)
•Podstawowewiadomo–ci
•Uk“adykwadratowe
•Uk“adyniekwadratowe
De
nicja1.(uk“adr
ó
wna«liniowych)
Uk“ademmr
ó
wna«liniowychznniewiadomymix
1
,x
2
,...,x
n
,gdziem,n2
N
nazywamyuk“adr
ó
wna«postaci:
8
>
>
>
<
a
11
x
1
+a
12
x
2
+···+a
1
n
x
n
=b
1
a
21
x
1
+a
22
x
2
+···+a
2
n
x
n
=b
2
..................................
a
m
1
x
1
+a
m
2
x
2
+···+a
mn
x
n
=b
m
,
>
>
>
:
gdziea
ij
,b
i
2
R
dla1
6
i
6
moraz1
6
j
6
n.
De
nicja2.(rozwi¡zanieuk“adur
ó
wna«)
Rozwi¡zaniemuk“adur
ó
wna«liniowychnazywamyci¡g(x
1
,x
2
,...,x
n
)liczb
rzeczywistychspe“niaj¡cychtenuk“ad.
De
nicja3.(uk“adsprzeczny,oznaczonyinieoznaczony)
Rozpatrzmydowolnyuk“adr
ó
wna«liniowych.Zachodzijedna
ztrzechmo»liwo–ci:
1.Zbi
ó
rrozwi¡za«jestzbiorempustym.Uk“adtakinazywamyuk“adem
sprzecznym.
2.Zbi
ó
rrozwi¡za«zawieradok“adniejedenelement.Uk“adtakinazywamy
uk“ademoznaczonym.
3.Zbi
ó
rrozwi¡za«zawieraniesko«czeniewieleelement
ó
w.Uk“adtakinazy-
wamyuk“ademnieoznaczonym.
De
nicja4.(posta¢macierzowauk“adur
ó
wna«)
Uk“adr
ó
wna«liniowychmo»nazapisa¢wpostacimacierzowej:
AX=B,
gdzie
2
a
11
a
12
···a
1
n
a
21
a
22
···a
2
n
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
a
m
1
a
m
2
···a
mn
3
2
x
1
x
2
.
.
.
x
n
3
2
b
1
b
2
.
.
.
b
n
3
A:=
6
6
6
4
7
7
7
5
,X:=
6
6
6
4
7
7
7
5
,B:=
6
6
6
4
7
7
7
5
.
MacierzAnazywamymacierz¡wsp
ó
“czynnik
ó
wlubmacierz¡g“
ó
wn¡uk“adu,
macierzX-macierz¡niewiadomych,macierzB-macierz¡wyraz
ó
wwolnych.
‚
wiczenie1.Podaneuk“adyr
ó
wna«zapisa¢wpostaci
macierzowej:
1
8
>
<
3x
1
+2x
2
=5
7x
1
−4x
2
=3
x
1
−x
2
=0
a)
>
:
;
8
>
>
>
<
x−2y+3z=1
3y−2z=0
x+t=3
x+z−3u=−5
b)
>
>
>
:
.
De
nicja5.(uk“adCramera
1
)
Uk“ademCrameranazywamyuk“adr
ó
wna«liniowych
AX=B,
wkt
ó
rymAjestkwadratow¡macierz¡nieosobliw¡.
Twierdzenie1.(wzoryCramera)
Uk“adCrameraAX=Bmadok“adniejednorozwi¡zanieokre–lonewzorami:
8
>
>
>
>
>
>
>
<
detA
x
2
=
detA
2
detA
............
x
n
=
detA
n
>
>
>
>
>
>
>
:
detA
,
gdzieA
j
dla1
6
j
6
njestmacierz¡uzyskan¡zmacierzyAprzezzast¡pienie
wniejj-tejkolumnykolumn¡wyraz
ó
wwolnych.
‚
wiczenie2.Rozwi¡za¢uk“adyr
ó
wna«:
(
x+5y=2
−3x+6y=15
;
a)
8
>
<
3x+y−2z=6
x−2y+5z=4
x+y+z=8
b)
.
>
:
De
nicja6.(macierzuzupe“niona)
Macierz¡uzupe“nion¡nazywamymacierzpowsta“¡zmacierzyAprzezdo“¡cze-
niekolumnywyraz
ó
wwolnych.Macierzuzupe“nion¡oznaczamyprzezU.
1
GabrielCramer(1704-1752)-matematykszwajcarski.
2
x
1
=
detA
1
 Twierdzenie2.(Kroneckera
2
-Capelliego
3
)
Uk“adr
ó
wna«liniowychmarozwi¡zaniewtedyitylkowtedy,gdyrz¡dmacierzy
g“
ó
wnejjestr
ó
wnyrzƒdowimacierzyuzupe“nionejuk“adu,tzn.
rzA=rzU.
Twierdzenie3.(wniosekztw.Kroneckera-Capelliego)
1.Je»elirzA=rzU=n,gdzienoznaczaliczbƒniewiadomych,touk“adjest
oznaczony.
2.Je»elirzA=rzU<n,touk“adjestnieoznaczony.
3.Je»elirzA6=rzU,touk“adjestsprzeczny.
‚
wiczenie3.Rozwi¡za¢podaneuk“adyr
ó
wna«:
8
>
>
>
<
x+6y−z=0
−x−4y+5z=6
3x+17y=2
2x+13y+5z=8
a)
>
>
>
:
;
8
>
<
x+2y+3z−t=−1
3x+6y+7z+t=5
2x+4y+7z−4t=−6
b)
;
>
:
8
>
>
>
<
x−y−2z+2t=−2
5x−3y−z+t=3
2x+y−z+t=1
3x−2y+2z−2t=−4
c)
>
>
>
:
.
2
LeopoldKronecker(1827-1891)-matematykniemiecki.
3
AlfredoCapelli(1855-1910)-matematykw“oski
3
[ Pobierz całość w formacie PDF ]

  • zanotowane.pl
  • doc.pisz.pl
  • pdf.pisz.pl
  • emaginacja.xlx.pl

    •