uklady rownan 1712, Matematyka

[ Pobierz całość w formacie PDF ]
Rozwiązywanie układów równań liniowych
Szukamy rozwiązania układu równań liniowych w postaci:
Powyższy układ rownań można zapisać w postaci macierzowej:
gdzie:
- macierz
współczynników
układu
równań
- szukany
wektor
rozwiązań
- wektor
wyrazów
wolnych
1
Rozwiązywanie układów równań liniowych
Układ równań może mieć nieskończenie wiele rozwiązań, dokładnie jedno, lub
rozwiązanie może nie istnieć wcale.
Pojęcia podstawowe.
Def.
Macierz jednostkowa jest macierzą kwadratową, której elementy leżące
na diagonali są równe 1 a pozostałe 0.
Def.
Jeżeli macierz A jest macierzą kwadratową to macierz B jest macierzą do niej
odwrotną jeśli zachodzi pomiędzy nimi związek:
Jeżeli nie istenieje taka macierz B to macierz A jest nieodwracalna.
Macierz kwadratowa o wyznaczniku różnym od 0 jest odwracalna i nazywamy
ją nieosobliwą. Macierz osobliwa ma wyznacznik równy 0.
2
Rozwiązywanie układów równań liniowych
Def.
Transpozycję macierzy A dokonuje się poprzez zamianę wierszy w kolumny
a kolumn w wiersze. Macierz transponowaną oznaczamy A
T
Własności macierzy transponowanej:
Transpozycja macierzy nie wpływa na wyznacznik i na ślad macierzy:
Jeżeli a i b są wektorami to zachodzi relacja:
3
Rozwiązywanie układów równań liniowych
Def.
Macierz kwadratową A nazywamy idempotentną jeśli zachodzi związek:
Def.
Macierzą dodatnio określoną nazywamy macierz o własności:
1) Jeśli A jest macierzą zespoloną hermitowską (a
ij
=a
ji
*
) to dla x
∈
R
n
:
2) Jeśli macierz A jest macierzą rzeczywistą to dla x
∈
R
n
:
Macierz dodatnio określona jest zawsze odwracalna. Macierz odwrotna jest
również dodatnio określona.
Mnożenie macierzy nie jest w ogólności przemienne:
4
Rozwiązywanie układów równań liniowych
Dla macierzy A stopnia n ślad macierzy definiujemy następująco:
Normy wektorów i macierzy
Dla n-wymiarowego wektora
najczęściej stosowane są poniższe normy:
1)
2)
3)
Dla dowolnego wektora x w przestrzeni R
n
prawdziwe są poniższe relacje
pomiędzy normami:
5
[ Pobierz całość w formacie PDF ]

  • zanotowane.pl
  • doc.pisz.pl
  • pdf.pisz.pl
  • emaginacja.xlx.pl

    •