UGIECIA OSI BELEK ZGINANYCH, Budownictwo, Wytrzymałość Materiałów

[ Pobierz całość w formacie PDF ]
Adam Bodnar: Wytrzymało
Ļę
Materiałów. Ugi
ħ
cia osi belek zginanych
12. UGI
Ħ
CIA OSI BELEK ZGINANYCH
12.1. Równanie ró
Ň
niczkowe ugi
ħ
tej osi belki zginanej poprzecznie
W niniejszym rozdziale zajmiemy si
ħ
wyznaczeniem przemieszcze
ı
, inaczej ugi
ħę
, osi belek
zginanych poprzecznie wykonanych z materiału spełniaj
Ģ
cego równania fizyczne Hooke’a.
Rozwa
Ň
my wi
ħ
c dowoln
Ģ
naszkicowan
Ģ
na rys. 12.1, belk
ħ
zginan
Ģ
, której konfiguracj
ħ
aktualn
Ģ
zaznaczono lini
Ģ
przerywan
Ģ
.
X
w(x)
w
j
(x)
»
tg
j
(x) = w
’
(x)
Rys. 12.1
Krzywizna poszukiwanej funkcji ugi
ħę
spełnia znan
Ģ
z matematyki zale
Ň
no
Ļę
:
1
w
''
( )
x
=
.
(12.1)
( )
[
]
2
r
x
3
1
+
w
'
2
(
x
)
W mianowniku powy
Ň
szej zale
Ň
no
Ļ
ci mo
Ň
emy opu
Ļ
ci
ę
pierwsz
Ģ
pochodn
Ģ
funkcji ugi
ħ
cia,
gdy
Ň
zgodnie z przyj
ħ
tymi wcze
Ļ
niej zało
Ň
enia o małych przemieszczeniach i ich
pochodnych, jej warto
Ļę
b
ħ
dzie znikomo mała w porównaniu z jedno
Ļ
ci
Ģ
i wzór (11.1)
przyjmie posta
ę
:
1
=
w
''
( )
x
.
(12.2)
( )
r
x
Analizuj
Ģ
c zagadnienie poprzecznego zginania wyprowadzili
Ļ
my zwi
Ģ
zek wi
ĢŇĢ
cy krzywizn
ħ
belki z momentem zginaj
Ģ
cych, który mo
Ň
emy zapisa
ę
w postaci:
1
=
M
y
EJ
( )
x
.
(12.3)
( )
r
x
y
Z równo
Ļ
ci lewych stron zale
Ň
no
Ļ
ci (12.2) oraz (12.3) wynika równanie:
( )
w
''
( )
x
=
M
y
x
.
(12.4)
EJ
y
Znaki bezwzgl
ħ
dnych warto
Ļ
ci w równaniu (12.4) b
ħ
dziemy mogli opu
Ļ
ci
ę
je
Ļ
li b
ħ
dziemy
znali znaki wyst
ħ
puj
Ģ
cych w nim wielko
Ļ
ci, a to zwi
Ģ
zane jest z układami współrz
ħ
dnych, w
których te wielko
Ļ
ci b
ħ
d
Ģ
wyznaczane.
X
w
’’
< 0
w
M
y
M
y
> 0
152
Adam Bodnar: Wytrzymało
Ļę
Materiałów. Ugi
ħ
cia osi belek zginanych
Rys. 12.2
Je
Ļ
li przyjmiemy układy pokazane na rys.12.2, to działaniu dodatniego momentu zginaj
Ģ
cego
( )
x
w
, których druga pochodna jest ujemna
x
i w tych układach równanie (12.4) przyjmie form
ħ
:
w
''
( )
x
=
−
M
y
( )
x
,
(12.5)
EJ
y
gdzie:
E
- moduł Younga materiału belki,
J
y
- moment bezwładno
Ļ
ci jej przekroju
poprzecznego wzgl
ħ
dem głównej centralnej osi bezwładno
Ļ
ci, do której równoległy jest
wektor momentu zginaj
Ģ
cego (tj. osi zginania). Iloczyn
EJ
y
nazywany jest sztywno
Ļ
ci
Ģ
na
zginanie i nazwa ta dobrze oddaje jego sens fizyczny.
Wyznaczenie z równania (12.5) funkcji
( )
w
przy znanym równaniu momentów zginaj
Ģ
cych
M
y
nie stanowi merytorycznych trudno
Ļ
ci.
W dalszej cz
ħĻ
ci tego rozdziału, dla uproszczenia zapisu równa
ı
, opu
Ļ
cimy indeksy „
y
”
zarówno przy funkcji momentu zginaj
Ģ
cego jak i momentu bezwładno
Ļ
ci wzgl
ħ
dem osi
zginania.
12.2. Metoda analityczna
Je
Ļ
li znana jest funkcja momentów okre
Ļ
lona jednym równaniem, (a tak zwykle jest, gdy
Ň
funkcje momentów zazwyczaj zapisujemy w przedziałach charakterystycznych), wyznaczenie
funkcji ugi
ħ
cia jest bardzo proste, polega ono na dwukrotnym całkowaniu wzgl
ħ
dem
x
równania (12.5). Po pierwszym całkowaniu otrzymujemy:
( )
x
w
'
( )
x
=
Ð
−
M
( )
x
dx
+
C
,
(12.6)
EJ
drugie całkowanie daje zale
Ň
no
Ļę
:
w
( )
x
=
Ð Ð
Ê
−
M
( )
x
dx
Ú
dx
+
Cx
+
D
,
(12.7)
EJ
w której
C
oraz
D
to stałe całkowania, które mo
Ň
emy wyznaczy
ę
z kinematycznych
warunków brzegowych.
Po wykonaniu całkowania i wyznaczeniu stałych całkowania otrzymujemy poszukiwan
Ģ
funkcj
ħ
linii ugi
ħ
cia belki w rozwa
Ň
anym przedziale. Znamy te
Ň
jej pierwsz
Ģ
pochodn
Ģ
okre
Ļ
lon
Ģ
równaniem (12.6), której interpretacj
Ģ
geometryczn
Ģ
jest tangens k
Ģ
ta zawartego
mi
ħ
dzy styczn
Ģ
do krzywej a dodatnim kierunkiem osi
X
(rys. 12.1). Poniewa
Ň
rozwa
Ň
amy,
zgodnie z przyj
ħ
tymi wcze
Ļ
niej zało
Ň
eniami, tylko małe przemieszczenia i małe ich pochodne
to
( )
w
'
x
= tg
j »
( ) ( )
x
j
x
. K
Ģ
t
( )
j w dalszych rozwa
Ň
aniach nazywa
ę
b
ħ
dziemy k
Ģ
tem
x
ugi
ħ
cia.
Wró
ę
my do stałych całkowania. W ka
Ň
dym przedziale charakterystycznym, w którym
zapisane jest równanie momentów, a potem wykonane całkowanie wyst
Ģ
pi
Ģ
dwie stałe
całkowania. Jak ju
Ň
wspomniano mo
Ň
emy je wyznaczy
ę
z kinematycznych warunków
brzegowych wynikaj
Ģ
cych z warunków podparcia belki (rys. 12.3),
X
w
'
=
0
w
'
=
0
w
=
0
w
=
0
l
w
w
w
=
0
l
w
=
0
p
w
'
l
=
w
153
M
y
(spody na dole belki) odpowiadaj
Ģ
ugi
ħ
cia
( )
x
w
=
 Adam Bodnar: Wytrzymało
Ļę
Materiałów. Ugi
ħ
cia osi belek zginanych
Rys. 12.3
lub sposobu jej obci
ĢŇ
enia (rys. 12.4).
EJ
l
EJ
p
w
l
=
w
p
w
l
=
w
'
p
Rys. 12.4
Indeksy przy ugi
ħ
ciach i ich pochodnych w kinematycznych warunkach brzegowych na
rys. 12.3 oraz 12.4 informuj
Ģ
o przedziałach z lewej i prawej strony rozpatrywanego punktu.
Kinematyczne warunki brzegowe pokazane na rys. 12.4 nazywane te
Ň
bywaj
Ģ
„warunkami
zszycia” i w sensie fizyczny oznaczaj
Ģ
,
Ň
e w punkcie wspólnym dla obu przedziałów ugi
ħ
cie
i k
Ģ
t ugi
ħ
cia musz
Ģ
by
ę
ci
Ģ
głe. Warto w tym miejscu zwróci
ę
uwag
ħ
,
Ň
e przy rozwa
Ň
aniu
zagadnienia ugi
ħę
, punktami charakterystycznymi staj
Ģ
si
ħ
dodatkowo (w stosunku do
zagadnienia wyznaczania sił przekrojowych tj. momentów zginaj
Ģ
cych, sił poprzecznych i
podłu
Ň
nych) punkty, w których nast
ħ
puje skokowo zmiana sztywno
Ļ
ci na zginanie oraz
przeguby wewn
ħ
trzne w belce.
Tok post
ħ
powania przy wyznaczaniu ugi
ħ
cia i k
Ģ
tów ugi
ħ
cia poka
Ň
emy na kilku prostych
zadaniach. Zaczniemy od belki wspornikowej, pokazanej na rys. 12.5 o stałej sztywno
Ļ
ci na
zginanie
EJ
. W belce tej chcemy wyznaczy
ę
ugi
ħ
cie i k
Ģ
t ugi
ħ
cia jej ko
ı
ca
K
.
P
q
EJ
X
K
A
X
EJ
B
l
l
w
w
Rys. 12.5
Rys.12.6
Funkcj
ħ
momentów (przy spodach na dole belki) okre
Ļ
la równanie:
M(x) = -P (l-x).
Równanie ró
Ň
niczkowe linii ugi
ħ
cia ma posta
ę
:
EJ w
’’
(x) = P (l-x).
Całkuj
Ģ
c dwukrotnie otrzymujemy kolejno:
EJ w
’
(x) = -P (l-x)
2
/2
+ C,
EJ w(x) = P (l-x)
3
/6
+ Cx + D.
Kinematyczne warunki brzegowe:
1
/
w
( )
( )
=
0
Ê
−
P
l
2
2
+
C
=
0
C
=
P
l
2
2
®
Ë
®
2
/
w
0
=
0
P
l
3
6
+
D
=
0
D
=
−
P
l
3
6
Ì
Równanie k
Ģ
tów ugi
ħ
cia:
( )
w
'
x
=
−
P
( )
−
x
2
2
+
P
l
2
2
]
EJ
.
Równanie linii ugi
ħ
cia:
( ) ( )
w
x
=
[
P
l
−
x
3
6
+
P
l
2
x
2
−
P
l
3
6
]
EJ
.
154
'
'
0
[
l
Adam Bodnar: Wytrzymało
Ļę
Materiałów. Ugi
ħ
cia osi belek zginanych
St
Ģ
d k
Ģ
t ugi
ħ
cia i ugi
ħ
cie ko
ı
ca wspornika wynosi:
j
=
w
'
( )
l
=
P
l
2
2
EJ
,
w
K
=
w
( )
l
=
P
l
3
3
EJ
.
K
W wolnopodpartej belce pokazanej na rys. 12.6, wyznaczymy maksymalne ugi
ħ
cie i k
Ģ
ty
ugi
ħ
cia na podporach.
Funkcja momentów (przy spodach na dole belki):
M(x) = ql x/
2
– q x
2
/
2
.
Równanie ró
Ň
niczkowe linii ugi
ħ
cia ma posta
ę
:
EJ w
’’
(x) = q x
2
/2 – ql x
/2
.
Całkuj
Ģ
c dwukrotnie otrzymujemy kolejno:
EJ w
’
(x) = q x
3
/6
- ql x
2
/4
+ C,
EJ w(x) = = q x
4
/24
- ql x
3
/12
+ Cx + D.
Kinematyczne warunki brzegowe:
1
/
w
( )
( )
=
0
®
Ê
D
=
0
®
D
=
0
2
/
w
l
=
0
q
l
4
24
−
q
l
4
12
+
C
l
=
0
C
=
q
l
3
24
Równanie k
Ģ
tów ugi
ħ
cia:
( )
[
w
'
x
=
q
x
3
6
−
ql
x
2
4
+
ql
3
24
]
EJ
.
Równanie linii ugi
ħ
cia:
( )
[
w
x
=
q
x
4
24
−
ql
x
3
12
+
ql
3
x
24
]
EJ
.
K
Ģ
ty ugi
ħ
cia na podporach wynosz
Ģ
:
j
=
w
'
( )
0
=
q
l
3
24
EJ
,
j
=
w
'
( )
l
=
−
q
l
3
24
EJ
.
A
B
Maksymalne (ekstremalne) ugi
ħ
cie wyst
Ģ
pi w tym punkcie przedziału gdzie zeruje si
ħ
pierwsza pochodna funkcji ugi
ħ
cia, czyli tam, gdzie zeruje si
ħ
k
Ģ
t ugi
ħ
cia. W analizowanym
przykładzie b
ħ
dzie to:
w
'
( )
=
0
®
q
x
3
6
−
ql
x
2
4
+
ql
3
24
=
0
®
x
=
l
2
,
max
w
=
( )
w
l
2
=
5
q
l
4
384
EJ
.
Tok post
ħ
powania w przypadku wi
ħ
kszej ni
Ň
jeden ilo
Ļ
ci przedziałów całkowania nie
zmienia si
ħ
zasadniczo. Zwi
ħ
ksza si
ħ
liczba stałych całkowania oraz liczba kinematycznych
warunków brzegowych.
Wyznaczmy ugi
ħ
cie i k
Ģ
t w
Ļ
rodku rozpi
ħ
to
Ļ
ci belki wolnopodpartej pokazanej na rys. 12.7.
P
P
EJ
2EJ
EJ
X
1
K
X
2
X
K
l/2
l/2
l/2
l/2
w
2
w
1
w
1
, w
2
155
0
x
 Adam Bodnar: Wytrzymało
Ļę
Materiałów. Ugi
ħ
cia osi belek zginanych
Rys. 12.7
Rys.12.8
Zadanie rozwi
ĢŇ
emy przyjmuj
Ģ
c dwa układy współrz
ħ
dnych (rys. 12.7). Równania
momentów, równania ró
Ň
niczkowe linii ugi
ħ
cia i dalsze po dwukrotnym całkowaniu,
zestawione s
Ģ
ni
Ň
ej.
0
1
l
<
x
<
2
0
2
l
<
x
<
2
M
1
( )
x
1
=
P
x
1
2
M
2
( )
2
=
P
x
2
2
EJ
w
'
1
( )
x
1
=
−
P
x
1
2
EJ
w
'
2
( )
x
2
=
−
P
x
2
2
EJ
w
'
1
( )
x
1
=
−
P
x
2
1
4
C
+
1
EJ
w
'
2
( )
x
2
=
−
P
x
2
2
4
C
+
2
EJ
w
1
( )
x
1
=
−
P
x
3
1
12
+
C
1
x
1
+
D
1
EJ
w
2
( )
x
2
=
−
P
x
3
2
12
+
C
2
x
2
+
D
2
Kinematyczne warunki brzegowe:
1
/
w
1
( )
( )
0
=
0
( )
Ê
D
1
=
0
Í
Ë
2
/
w
1
l
2
=
w
2
l
2
−
P
l
3
96
+
C
l
2
+
D
=
−
P
l
3
96
+
C
l
2
+
D
D
=
D
=
0
1
1
2
2
1
2
®
®
( )
( )
3
/
w
'
1
l
2
=
−
w
'
2
l
2
−
P
l
2
16
+
C
=
P
l
2
16
−
C
C
=
C
=
Pl
2
16
Í
Ì
1
2
1
2
4
/
w
2
( )
0
=
0
Í
D
2
=
0
Ujemny znak w trzecim kinematycznym warunku brzegowym jest konsekwencj
Ģ
ró
Ň
nej
skr
ħ
tno
Ļ
ci przyj
ħ
tych układów współrz
ħ
dnych.
Ugi
ħ
cie i k
Ģ
t ugi
ħ
cia w
Ļ
rodku rozpi
ħ
to
Ļ
ci belki wynosz
Ģ
:
( )
=
w
l
2
=
P
l
3
48
EJ
,
j
=
l
w
'
( )
0
2
=
.
1
W zako
ı
czeniu prostych zada
ı
wyznaczymy ugi
ħ
cie ko
ı
ca wspornika o skokowej zmiennej
sztywno
Ļ
ci na zginanie pokazanego na rys. 12.8.
0
<
x
<
l
2
l
2
<
x
<
l
M
1
( )
x
=
−
P
( )
−
x
M
2
( )
=
−
P
( )
l
−
x
2
EJ
w
'
1
( ) ( )
x
=
P
l
−
x
EJ
w
'
2
( ) ( )
x
=
P
l
−
x
2
EJ
w
'
1
( )
x
=
−
P
( )
l
−
x
2
2
+
C
EJ
w
'
2
( )
x
=
−
P
( )
l
−
x
2
2
C
+
1
2
2
EJ
w
( ) ( )
x
=
P
l
−
x
3
6
+
C
x
+
D
EJ
w
( ) ( )
x
=
P
l
−
x
3
6
+
C
x
+
D
1
1
1
2
2
2
Kinematyczne warunki brzegowe:
156
x
w
K
l
x
[ Pobierz całość w formacie PDF ]

  • zanotowane.pl
  • doc.pisz.pl
  • pdf.pisz.pl
  • emaginacja.xlx.pl

    •