Ubezp-5, MATEMATYKA, Matematyka finansowa, MT FINANSOWA

[ Pobierz całość w formacie PDF ]
2.5. ODROCZONE DOŻYWOTNIE UBEZPIECZENIE
NA WYPADEK ŚMIERCI
Odroczonym o m lat dożywotnim ubezpieczeniem na wypadek śmierci
nazywamy
ubezpieczenie na mocy którego ubezpieczyciel zobowiązuje się do wypłacenia sumy
ubezpieczenia spadkobiercom ubezpieczonego po jego śmierci, jeżeli śmierć ubezpie-
czonego nastąpi później niż w ciągu m pierwszych lat od momentu zawarcia umowy
ubezpieczenia.
Przyjmując poczynione uprzednio założenia i oznaczenia oraz wyżej zapisaną definicję
odroczonego ubezpieczenia na wypadek śmierci zauważmy, że zobowiązania ubezpieczy-
cie-la w tym przypadku określa następujący kapitał losowy.
⎪
⎪
0
dla K
=
0 1 2
,, ...
m
−
1
(2.39)
S
=
5
K
+
1
vlaKmm w
= + −
,
1
,...,
x
o rozkładzie prawdopodobieństwa
Pr (
5
== ==
) Pr (
ob K k
)
kxxk
p q
+
dla k=0,1, . . . , m-1
(2.40)
Pr (
ob S v
k
5
=
+
1
)
dla k=m, m+1, ...w-x
(2.41)
gdzie: m - okres odroczenia ubezpieczenia.
Rozkład prawdopodobieństwa zmiennej losowej S
5
możemy zapisać w tablicy
Rozkład prawdopodobieństwa zmiennej losowej S
5
k
0 do m-1
m
m+1
. . . .
w-x
s
k
0
v
m+1
v
m+2
. . . .
v
w-x+1
P(S
2
=s
k
)
−
∑
0
1
mxxm
pq
+
mxxm
+ +
1
pq
+
. . . .
1
wxxw
−
pq
pq
+
kxxk
k
=
Jeżeli porównamy rozkład prawdopodobieństwa zmiennej losowej S
1
- dożywotnie-
go ubezpieczenia na wypadek śmierci (por.2.2 i2.3) oraz zmiennej losowej S
2
- terminowe-
53
⎧
ob S
m
go ubezpieczenia na wypadek śmierci (por.2.15 i2.17), to zauważymy, że zmienną losową
S
5
można traktować jako różnicę zmiennej losowej S
1
i S
2
SSS
5
= −
1
2
(2.42)
Z powyższego wynika, że jednorazowa składka odroczonego o m-lat dożywotniego ubez-
pieczeniana na wypadek śmierci może być wyznaczona następująco:
m
AES ESES
= = −
() () ()
5
1
2
(2.43)
AAA
5
== − =
1
2
M
D
xm
x
+
(2.44)
mx
x
xm
:
⏐
Wariancja zmiennej losowej S
5
może być wyznaczona z definicji na podstawie wzoru
(2.10). W tym przypadku podobnie jak w poprzednich mamy
DS A
()
=
5
−
( )
A
5
2
(2.45)
5
mxr r mxr
|( )
2
+
|
Dla porównania odroczonego dożywotniego ubezpieczenia na wypadek śmierci (zmienna
losowa S
5
) z dożywotnim ubezpieczeniem na wypadek śmierci (zmienna losowa S
1
) wy-
znaczono jednorazową składkę netto i odchylenie standardowe D tego ubezpieczenia dla
sumy ubezpieczenia 50 tys. zł., okresu odroczenia 20 lat oraz technicznej stopy procento-
wej r=0,05. Wyniki obliczeń zamieszczono w tablicy 2.12.
54
5
2
Tablica 2.12. Odroczone dożywotnie ubezpieczenie na wypadek śmierci.
Jednorazowa składka netto.
Wiek
MĘŻCZYZNA
KOBIETA
ubepz.
w
latach
Składka
jednorazo-
wa w tys. zł
Odchylenie
standardowe
współczynnik
zmienności
Składka
jednorazowa
w tys. zł
Odchylenie
standardowe
współczynnik
zmienności
x
A
x
D
V
A
x
D
V
18
4,536
3,413
0,752
3,118
2,509
0,805
19
4,693
3,482
0,742
3,249
2,572
0,792
20
4,852
3,551
0,732
3,384
2,634
0,779
21
5,013
3,621
0,722
3,522
2,696
0,765
22
5,176
3,691
0,713
3,663
2,756
0,752
23
5,339
3,761
0,704
3,808
2,816
0,739
24
5,500
3,830
0,696
3,957
2,875
0,727
25
5,658
3,899
0,689
4,108
2,933
0,714
26
5,812
3,967
0,683
4,263
2,991
0,702
27
5,961
4,035
0,677
4,421
3,048
0,689
28
6,106
4,105
0,672
4,583
3,105
0,678
29
6,247
4,177
0,669
4,749
3,165
0,667
30
6,385
4,253
0,666
4,920
3,228
0,656
31
6,519
4,332
0,665
5,097
3,296
0,647
32
6,649
4,416
0,664
5,278
3,366
0,638
33
6,773
4,503
0,665
5,463
3,439
0,630
34
6,889
4,595
0,667
5,651
3,515
0,622
35
6,996
4,691
0,670
5,840
3,592
0,615
36
7,094
4,791
0,675
6,029
3,670
0,609
37
7,180
4,895
0,682
6,217
3,751
0,603
38
7,254
5,004
0,690
6,405
3,834
0,599
39
7,313
5,116
0,700
6,592
3,922
0,595
40
7,357
5,232
0,711
6,777
4,014
0,592
41
7,384
5,350
0,725
6,960
4,111
0,591
42
7,392
5,471
0,740
7,138
4,214
0,590
43
7,383
5,593
0,758
7,309
4,323
0,591
44
7,358
5,717
0,777
7,472
4,438
0,594
45
7,319
5,841
0,798
7,623
4,561
0,598
46
7,264
5,966
0,821
7,761
4,691
0,604
47
7,192
6,089
0,847
7,883
4,828
0,612
48
7,100
6,210
0,875
7,985
4,974
0,623
49
6,988
6,326
0,905
8,066
5,128
0,636
50
6,853
6,436
0,939
8,122
5,290
0,651
Z porównania danych zawartych w tablicy 2.3 oraz 2.12 możemy zauważyć, że w przy-
padku kobiet w przedziale wiekowym od 18 do 30 lat składka jednorazowa dożywotniego
ubezpieczenia na wypadek śmierci nieznacznie się różni od jednorazowej składki tego
ubezpieczenia w wersji odroczonej.
55
Trochę większą różnicę obserwujemy dla kobiet w wieku powyżej 30 lat. Generalnie od-
chylenie standardowe D(S
5
) dla odroczonego ubezpieczenia jest mniejsze od odchylenia
standardowego D(S
1
) dożywotniego ubezpieczenia.
W tym przypadku wydaje się zasadne posługiwanie się odchyleniem standardowym dla
oceny ryzyka związanego z ubezpieczeniem. Ale również w tym przypadku rozkład
zmiennej losowej S
5
nie jest tak skrajnie asymetryczny jak rozkład zmiennej losowej S
2
i
S
3
. Zmniejszenie wartości oczekiwanej E(S
5
) oraz odchylenia standardowego D(S
5
) odro-
czonego dożywotniego ubezpieczenia na wypadek śmierci spowodowane jest brakiem
ochrony ubezpieczeniowej w pierwszych 20 latach od momentu zawarcia ubezpieczenia.
Podobne uwagi można sformułować w stosunku do ubezpieczenia mężczyzn.
W celu zilustrowania danych zawartych w tablicy 2.12 sporządzono rysunek 2.16.
Rys.2.16.ODROCZONE DOŻYW OTNIE UBEZPIECZENIE NA
WYPADEK ŚMIERCI. JEDNORAZOWA SKŁADKA NETTO
.(Warunki: suma ubezp.50 tys.zł.,okres odroczenia 20 lat, tech.
stp . r= 0, 05)
Składka-m Ax
Składka-m. Ax+D
Składka-k Ax
Składka-k. Ax+D
14,000
12,000
10,000
8,000
6,000
4,000
2,000
0,000
WI EK UBEZ PI EC Z ONEGO w l a t a c h
Z analizy rozkładów prawdopodobieństwa przedstawionych w niniejszym rozdziale
klasycznych wersji indywidualnych ubezpieczeń życiowych wynika, że wariancja (odchy-
lenie standardowe)może być miarą ryzyka związanego z ubezpieczeniem w przypadku
dożywotniego i odroczonego ubezpieczenia na wypadek śmierci oraz w niektórych przy-
padkach ubezpieczenia na życie i dożycie (zmienne losowe S
1
, S
5
i S
4
).
56
W przypadkach skrajnie asymetrycznych rozkładów takich jak w terminowych ubezpie-
czeniach na wypadek śmierci, ubezpieczeniach na dożycie oraz niektórych przypadkach
ubezpieczenia na życie i dożycie (zmienne losowe S
2
,
S
3
i S
4
) miarą ryzyka związanego z
ubezpieczeniem powinno być prawdopodobieństwo zdarzenia wypłacenia lub niewypłace-
nia odszkodowania przez firmę ubezpieczeniową.
57
[ Pobierz całość w formacie PDF ]

  • zanotowane.pl
  • doc.pisz.pl
  • pdf.pisz.pl
  • emaginacja.xlx.pl

    •