Ubezp-3, MATEMATYKA, Matematyka finansowa, MT FINANSOWA

[ Pobierz całość w formacie PDF ]
2.2. TERMINOWE UBEZPIECZENIE NA WYPADEK ŚMIERCI
Terminowym ubezpieczeniem na wypadek śmierci
nazywamy ubezpieczenie,
na mocy którego ubezpieczyciel zobowiązuje się do wypłacenia sumy ubezpieczenia
spadkobiercom ubezpieczonego po jego śmierci, jeżeli śmierć nastąpiła w okresie
ubezpieczenia (w ciągu n lat od momentu ubezpieczenia). Jeżeli ubezpieczony przeży-
je okres ubezpieczenia (okres n lat), to ubezpieczyciel jest wolny od zobowiązań.
Dla wyznaczenia jednorazowej składki netto terminowego ubezpieczenia na wypadek
śmierci przyjmujemy wszystkie poczynione w rozdziale 2.1 założenia i oznaczenia. Do-
datkowo literą n - oznaczymy okres ubezpieczenia. W omawianym przypadku zobowiąza-
nia ubezpieczyciela określa kapitał losowy (obecna wartość sumy ubezpieczenia)
⎪
⎪
vla K
K
+
1
=
012
, , ,...
n
1
S
=
(2.15)
2
0
dla K n
≥
o rozkładzie prawdopodobieństwa
ob S v
= =
k
+
1
) Pr (
ob K k
= =
)
p q
dla k=0,1, ... n-1
(2.16)
2
kxxk
+
−
∑
1
Pr (
ob S
2
==−
01
)
kxxk
+
=
nx
(2.17)
k
=
0
gdzie: n - okres ubezpieczenia.
Rozkład zmiennej losowej S
2
możemy zapisać w następującej tablicy
Rozkład prawdopodobieństwa zmiennej losowej S
2
k
0
1
2
. . . .
n-1
n
s
k
v
v
2
v
3
. . . .
v
n
P(S
2
=s
k
)
q
x
1
p
xx+
1
2
p
xx+2
. . . .
nxxn
pq
−
1
nx
31
−
⎧
Pr (
n
p q
p
− +
1
p
Jednorazowa składka netto terminowego ubezpieczenia na wypadek śmierci jest równa
wartości oczekiwanej zmiennej losowej S
2
.
2
−
= =
∑
n
1
k
+
1
AES v
()
p q
(2.18)
2
kxxk
+
xn
:
⏐
k
=
0
Wprowadzając do wzoru (2.18) zależności wynikające z funkcji tablicowych (por. 1.8 -
1.12) oraz definicji liczb komutacyjnych (2.6-2.9) otrzymujemy
2
∑
−
1
k
+
+
d
∑
−
1
v
++
d
vl
1
∑
−
1
C
D
wx
∑ ∑
−
C
D
wx
C
D
Av
=
xk
x
=
xk
+
=
xk
x
+
=
x
x
−
x
x
x
l
x
k
=
0
k
=
0
x
k
=
0
k
=
0
kn
Ostatecznie
A
2
=
MM
D
x
−
x
+
n
(2.19)
xn
: ⏐
x
Podobnie jak w poprzednim paragrafie można wykazać, że drugi moment zwykły zmiennej
losowej S
2
jest równy jednorazowej składce netto terminowego ubezpieczenia na wypadek
śmierci dla technicznej stopy procentowej r
1
= r(2+r) a więc wyraża się wzorem
ES
()
2
=
A
xnr r
2
⏐+
(2.20)
2
: ( )
2
Ostatecznie wariancję zmiennej losowej S
2
można wyliczć ze wzoru (por.2.10)
DS A
2
()
=
2
−
( )
A
2
2
(2.21)
2
xnr r
: ( )
⏐+
2
xnr
:
⏐
W dalszym ciągu rozważymy przykład terminowego ubezpieczenia na wypadek śmierci na
okres krótki - 5 lat oraz długi - 20 lat. Obliczenia poprowadzimy dla sumy ubezpieczenia
50 tys. zł oraz technicznej stopy procentowej r=0,05. W tabeli 2.4 zamieszczono rozkład
zmiennej losowej S
2
dla ubezpieczenia na okres 5 lat.
32
xk
−
n
1
n
n
=
 Tablica 2.4. Rozkład prawdopodobieństwa terminowego ubezpieczenia na wypadek
śmierci na okres 5 lat
KAPITAŁ LOSOWY S
2
Lata Obecna war-
tość sumy
Mężczyzna
Kobieta
ubezpieczenia
x=20 lat
x=40 lat
x=20 lat
x=40 lat
k
50v
(k+1)
Prob(S
2
=k) Prob(S
2
=k) Prob(S
2
=k) Prob(S
2
=k)
5
0,000
0,991597
0,970393
0,998052
0,989282
4
39,176
0,001769
0,007026
0,000398
0,002566
3
41,135
0,001790
0,006410
0,000398
0,002338
2
43,192
0,001748
0,005848
0,000388
0,002131
1
45,351
0,001635
0,005372
0,000388
0,001935
0
47,619
0,001460
0,004951
0,000377
0,001748
Dane zawarte w tablicy 2.4 zilustrowano na rysunku 2.5.
Rys.2.5. TERMINOWE UBEZPIECZENIE NA WYPADEK
ŚMIERCI.ROZKŁAD PRAWDOPODOBIEŃSTWA.
(Warunki:suma ubez.50 tys.zł.,okres 5 lat, tech. stopa
r=0,05)
Prob.40M
Prob.20M
Prob.40K
Prob.20K
1,000000
0,900000
0,800000
0,700000
0,600000
0,500000
0,400000
0,300000
0,200000
0,100000
0,000000
0,000
39,176
41,135
43,192
45,351
47,619
OBECNA WARTOŚĆ SUMY 50 tys. zł
33
Zauważmy, że w przypadku ubezpieczenia 20 letniego mężczyzny prawdopodobieństwo
zdarzenia, że ubezpieczyciel nie wypłaci odszkodowania jest bardzo duże, większ od 0,99.
Podobnie jest w pozostałych przypadkach. Oznacza to, że rozkład prawdopodobieństwa
zmiennej losowej S
2
jest skrajnie asymetryczny. W tym przypadku traci swój sesns staty-
styczny wartość oczekiwana (średnia), odchylenie standardowe i współczynnik zmienno-
ści. Należy więc, być bardzo ostrożnym w przyjmowaniu za podstawę kalkulacji aktuarial-
nych wartości składki netto - wartości oczekiwanej zmiennej losowej S
2
. Dla pełniejszego
zilustrowania danych zawartych w tablicy 2.4 sporządzono rysunek 2.6 na którym nie
umieszczono prawdopodobieństwa zerowej wypłaty.
Rys.2.6. TERMINOWE UBEZPIECZENIE NA WYPADEK.
ŚMIERCI. ROZKŁAD PRAWDOPODOBIEŃSTWA.
( Warunki:suma ubez.50 tys. zł.,okres 5 lat, tech. stopa
r=0,05)
0,008
0,007
0,006
Prob.40M
Prob.20M
Prob.40K
Prob.20K
0,005
0,004
0,003
0,002
0,001
0
39,17631
41,13512
43,19188
45,35147
47,61905
OBECNA WART OŚĆ SUMY 50 tys. zł.
Wartości oczekiwane zmiennych losowych S
2
- jednorazowej składki netto, odchy-
lenie standardowe i współczynnik zmienności tych zmiennych losowych dla sumy ubez-
pieczenia 50 tys.zł., okresu ubezpieczenia - 5 lat oraz technicznej stopy procentowej r
=0,05
zamieszczono w tablicy 2.5.
34
Tablica 2.5. Terminowe ubezpieczenie na wypadek śmierci na okres 5 lat.
Jednorazowa składka netto
Wiek
MĘŻCZYZNA
KOBIETA
ubez.
w
latach
Składka
jednrazowa
w tys.zł
Odchylenie
standardowe
współczynnik
zmienności
Składka jedn-
razowa w
tys.zł
Odchylenie
standardowe
współczynnik
zmienności
x
A
x
D
V
A
x
D
V
18
0,309
3,632
11,759
0,082
1,891
22,941
19
0,339
3,810
11,233
0,083
1,901
22,815
20
0,362
3,943
10,888
0,084
1,911
22,690
21
0,376
4,023
10,703
0,086
1,930
22,452
22
0,382
4,057
10,632
0,088
1,949
22,220
23
0,383
4,066
10,610
0,091
1,981
21,835
24
0,386
4,078
10,563
0,095
2,021
21,368
25
0,395
4,121
10,426
0,101
2,084
20,699
26
0,412
4,204
10,198
0,108
2,156
19,965
27
0,437
4,322
9,900
0,118
2,249
19,121
28
0,468
4,470
9,559
0,129
2,354
18,249
29
0,504
4,638
9,204
0,143
2,475
17,350
30
0,544
4,816
8,854
0,158
2,604
16,478
31
0,589
5,007
8,505
0,176
2,744
15,624
32
0,638
5,210
8,162
0,196
2,895
14,805
33
0,694
5,427
7,824
0,218
3,056
14,014
34
0,755
5,658
7,494
0,243
3,227
13,263
35
0,822
5,900
7,174
0,272
3,409
12,547
36
0,895
6,152
6,870
0,303
3,600
11,871
37
0,975
6,414
6,577
0,338
3,800
11,240
38
1,063
6,688
6,294
0,376
4,005
10,658
39
1,161
6,981
6,014
0,416
4,215
10,123
40
1,271
7,294
5,739
0,460
4,427
9,631
41
1,396
7,631
5,467
0,506
4,645
9,172
42
1,534
7,987
5,206
0,556
4,867
8,745
43
1,684
8,354
4,962
0,609
5,088
8,357
44
1,839
8,718
4,740
0,661
5,302
8,016
45
1,998
9,072
4,541
0,712
5,503
7,724
46
2,158
9,413
4,362
0,762
5,689
7,469
47
2,321
9,746
4,198
0,811
5,866
7,238
48
2,493
10,079
4,043
0,862
6,046
7,011
49
2,677
10,421
3,892
0,923
6,247
6,771
50
2,880
10,781
3,743
0,996
6,482
6,507
Jak można było przewidzieć na podstawie danych zamieszczonych w tablicy 2.4 odchyle-
nie standardowe D oraz współczynnik zmienności V zmiennej losowej S
2
przewyższa wie-
lokrotnie wartość oczekiwaną tej zmiennej.
35
[ Pobierz całość w formacie PDF ]

  • zanotowane.pl
  • doc.pisz.pl
  • pdf.pisz.pl
  • emaginacja.xlx.pl

    •