Ubezp-2, MATEMATYKA, Matematyka finansowa, MT FINANSOWA

[ Pobierz całość w formacie PDF ]
II. UBEZPIECZENIA ŻYCIOWE
Matematyka finansowa i aktuarialna stanowi podstawy teoretyczne metod obliczeń
wysokości składek ubezpieczeń na życie.
Matematyka finansowa
6
zajmuje się metodami oprocentowania i dyskontowania ka-
pitału (zmianami wartości pieniądza w czasie), metodami spłaty długów, mierzeniem efek-
tywności inwestycji finansowych (inwestycji w akcje i obligacje).
Matematyka aktuarialna
7
(matematyka ubezpieczeniowa) stosuje metody analizy
matematycznej, rachunku prawdopodobieństwa, statystyki matematycznej do:
•
ustalania wysokości składek ubezpieczeniowych i funduszy rezerwowych gromadzo-
nych przez towarzystwa ubezpieczeń
•
obliczania rozkładu prawdopodobieństwa roszczeń z tytułu ubezpieczeń według ich
wysokości i wielkości w określonym czasie oraz określonej grupie ubezpieczeń
•
ustalanie wielkości odszkodowań i świadczeń wypłacanych przez towarzystwa ubezpie-
czeniowe w razie zajścia określonych zdarzeń losowych.
W matematyce finansowej i aktuarialnej do wyceny wartości kapitałów losowych,
(wyceny wartości zysków lub strat w grze losowej, wyceny wartości ciągu rocznych skła-
dek wpłacanych do firmy ubezpieczeniowej na rzecz ubezpieczenia) stosuje się pojęcie
wartości oczekiwanej, a do oceny stopnia ryzyka związanego z tym kapitałem stosuje się
pojęcie wariancji, odchylenia standardowego lub innych charakterystyk statystycznych.
Załóżmy, że pewne przedsięwzięcie (udział w grze losowej, podpisanie umowy
ubezpieczeniowej) generuje dochody (wpłaty) lub straty (wypłaty) x
1
,
x
2
, . . .
x
n
z
prawdo-
podobieństwami odpowiednio p
1
,
p
2
, . . .
p
n
.
Można w tym przypadku powiedzieć, że przedsięwzięcie to jest związane z pewnym kapi-
tałem losowym określonym przez zmienną losową X o danym rozkładzie prawdopodo-
bieństwa
Prob(X = x
i
) = p
i
dla i =1, 2, . . . n
(2.1)
6
Bijak W, Podgórska M, Utkin J; Matematyka finansowa, Bizant, Warszawa 1994
7
Stroiński E., Ubezpieczenia na życie. Wyższa Szkoła Ubezpieczeń i Bankowości, , Warszawa 1995.
19
Wyceną Netto Kapitału Losowego X
o rozkładzie prawdopodobieństwa
Prob(X=x
i
)=p
i
n
dla i =1, 2, ..., n nazywamy wartość oczekiwaną
EX
()=
∑
1
zmiennej losowej X.
i
=
Dwa Kapitały Losowe X i Y są Równoważne Netto,
gdy wyceny netto wartości tych
kapitałów są sobie równe (E(X)=E(Y).
Podstawą wszystkich obliczeń ubezpieczeniowych jest
Jednorazowa Składka Netto
równa wartości oczekiwanej zdyskontowanych na moment zawierania umowy ubezpiecze-
niowej przyszłych wypłat świadczeń firmy ubezpieczeniowej na rzecz ubezpieczonego.
Do dyskontowania tych świadczeń stosuje się roczną stopę procentową r nazywaną Tech-
niczną Stopą Procentową. W dalszej części pracy przedstawimy zasady wyznaczania Jed-
norazowej Składki Netto dla różnych rodzajów ubezpieczeń życiowych i rent życiowych.
Wyznaczymy również wielkość ryzyka związanego z tymi ubezpieczeniami mierzonego
wielkością wariancji, odchylenia standardowego, współczynnika zmienności lub prawdo-
podobieństwem.
Ubezpieczeniem na życie
nazywamy umowę między ubezpieczonym a ubezpieczycie-
lem, w której ubezpieczony zobowiązuje się do zapłacenia składki ubezpieczeniowej
(jednorazowo lub ratalnie), a ubezpieczyciel zobowiązuje się do wypłacenia sumy u-
bezpieczenia (jednorazowo lub ratalnie) w razie śmierci osoby ubezpieczonej na rzecz
określonych w ubezpieczeniu osób.
Ubezpieczenia na życie dzielimy na:
a)
ubezpieczenia życiowe
- jednorazowa płatność sumy ubezpieczenia w przypadku
śmierci ubezpieczonego
b)
renty życiowe
- ciągi płatności dokonywane przez ubezpieczyciela na rzecz osoby u-
bezpieczonej w określonych terminach w sytuacji gdy osoba ubezpieczona żyje
Ubezpieczenia na życie są kombinacjami ubezpieczeń życiowych i rent życiowych.
Niżej przedstawimy zasady obliczania jednorazowej składki netto dla najważniejszych
ubezpieczeń życiowych.
20
x
ii
2.1. DOŻYWOTNIE UBEZPIECZENIE NA WYPADEK ŚMIERCI
Dożywotnim ubezpieczeniem na wypadek śmierci
nazywamy ubezpieczenie, na
mocy którego ubezpieczyciel zobowiązuje się do wypłacenia sumy ubezpieczenia
spadkobiercom po śmierci ubezpieczonego.
W tym przypadku wypłata sumy ubezpieczenia występuje napewno nieznany jest jedynie
moment wypłaty, który jest momentem losowym zależnym od długości dalszego trwania
życia ubezpieczonego
Dla przeprowadzenia obliczeń przyjmujemy następujące założenie i oznaczenia:
a)
K - zmienna losowa oznaczająca liczbę pełnych lat życia od momentu zawarcia ubez-
pieczenia do momentu śmierci ubezpieczonego
b)
K+1 - moment płatności ubezpieczenia (płatność w końcu roku w którym nastąpiła
śmierć ubezpieczonego)
c)
suma ubezpieczenia wynosi jedną jednostkę pieniężną (1 zł. ,1 tys. zł., 1 mln zł.)
d)
w momencie zawierania umowy ubezpieczenia ubezpieczony ma x - lat
e)
r - techniczna stopa procentowa
f)
v
= (1+r)
-1
- czynnik dyskontujący
Przyjmując wyżej zapisane założenia możemy zauważyć, że zobowiązanie ubezpie-
czyciela określa kapitał losowy (obecna wartość sumy ubezpieczenia)
S
K
1
=
+
1
(2.2)
o rozkładzie prawdopodobieństwa
Pr (
ob S v
= =
k
+
1
) Pr (
ob K k
= =
)
p q
+
(2.3)
1
kxxk
dla k= 0,1,2, . . . , w-x
Zobowiązania ubezpieczyciela są więc określone przez kapitał losowy o rozkładzie praw-
dopodobieństwa w istotny sposób związanym z rozkładem dalszego trwania życia osoby
ubezpieczanej (por.wzór 1.7)
Rożkład zmiennej losowej S
1
możemy zapisać w następującej tablicy:
Rozkład prawdopodobieństwa zmiennej losowej S
1
21
k
0
1
2
. . . .
i
. . .
w-x
s
k
v
v
2
v
3
. . . .
v
i+1
. . . .
v
w-x+1
P(S
1
=s
k
)
q
x
1
p
xx+
1
2
p
xx+
2
. . . .
ixxi
pq
+
. . . .
wxxw
−
pq
Zgodnie zatem z zasadą wyceny netto wartości kapitału losowego jednorazowa składka
netto dożywotniego ubezpieczenia na wypadek śmierci jest równa wartości oczekiwanej
zmiennej losowej S
1
1
wx
−
∑
k
+
1
AES
= =
()
v pq
(2.4)
x
1
kxxk
+
k
=
0
Korzystając z zależności zawartych we wzorach (1.8) do (1.12) jednorazową składkę netto
można wyznaczyć ze wzoru
1
∑
−
k
+
+
1
l
d
l
∑
−
k
+
+
1
d
∑
−
v
xk
d
vl
1
A
=
v
xk
x
⋅ =
xk
xk
+
+
v
xk
x
=
xk
+
=
x
l
l
x
k
=
0
k
=
0
k
=
0
x
=
CC
x
+ + +
x
+
1
...
C
w
=
M
D
x
x
D
x
A
1
=
M
D
x
x
(2.5)
gdzie:
Cvd
x
=
x
+1
x
-
zdyskontowana liczba umarłych
(2.6)
Dvl
x
=
-
zdyskontowana liczba żywych
x
x
(2.7)
wx
−
∑
0
MC
=
x
x k
+
(2.8)
k
=
wx
−
∑
0
ND
=
x
x k
+
(2.9)
k
=
Wielkości
C
x
, D
x
, M
x
i N
x
nazywamy
LICZBAMI KOMUTACYJNYMI.
Liczby te zależą od:
22
++
wx
wx
wx
x
l
x
- liczby osób dożywających wieku x,
d
x -
-
liczby osób zmarłych w wieku x
r - technicznej stopy procentowej (v = (1+r)
-
1
)
W dodatku C zamieszczono tablice liczb komutacyjnych obliczone dla technicznej stopy
procentowej r=0,05 i r=0,1025 oraz danych zawartych w PTTŻ 1990-1991
1
Przykład 2.1
Obliczyć jednorazową składkę netto dla ubezpieczenia na wypadek śmierci na kwotę
50 tys.zł, dla mężczyzny 40 letniego przyjmując techniczną stopę procentową r = 0,05 oraz
dane zawarte w PTTŻ 1990-1991
1
.
Korzystając z własności wartości oczekiwanej E(aS
1
) = a E(S
1
) (por.dodatek C ) oraz wzo-
ru (2.5) mamy
A
1
=⋅ =
50
M
D
x
x
50
3555 6328
13140 93016
,
,
=⋅
50 0 2705769 13 528
,
=
,
tys. zł
Wariancję zmiennej losowej S
1
możemy wyznaczyć korzystając ze znanej własności ope-
ratora wariancji:
D S ES
2
() ( ) ()
= −
2
( )
ES
2
(2.10)
1
1
1
DS ES A
x
2
() ( )
= −
2
( )
1
)
2
zatem
1
1
Dla wyznaczenia wariancji
DS
()
wystarczy więc obliczyć drugi moment zwykły zmien-
nej losowej S
1
ES
()
2
=
wx
−
∑
( )
v
k
+
1
2
p q
(2.11)
1
kxxk
+
k
=
0
Ponieważ
( ) ( )
2
k
+
1
⎛
⎜
1
⎞
⎟
=
k
+
1
⎛
1
12
⎞
k
+
1
k
+
1
2
v
= =
v
⎜
⎟
,
(2.12)
2
++
r
(
r
)
(
1
+
r
)
23
x
2
[ Pobierz całość w formacie PDF ]

  • zanotowane.pl
  • doc.pisz.pl
  • pdf.pisz.pl
  • emaginacja.xlx.pl

    •