Ubezp-6, MATEMATYKA, Matematyka finansowa, MT FINANSOWA

[ Pobierz całość w formacie PDF ]
III. RENTY ŻYCIOWE
Rentą życiową
nazywamy ciąg okresowych płatności dokonywanych w równych od-
stępach czasu od momentu zawarcia umowy rentowej do końca życia rentobiorcy lub
do końca kontraktu.
Czas trwania umowy rentowej może być ograniczony lub nieograniczony, a mo-
ment pierwszej wypłaty może nastąpić natychmiast po zawarciu umowy rentowej lub być
odroczony na pewien okres czasu.
Renty życiowe płatne są miesięcznie, kwartalnie lub rocznie.
W niniejszym rozdziale omówimy metody wyznaczania jednorazowej składki netto dla
rent życiowych. Dla zrozumienia wyprowadzanych wzorów niezbędna jest znajomość teo-
rii rent pewnych, o których najważniejsze informacje zamieszczono w dodatku A.
3.1. RENTA ŻYCIOWA DOŻYWOTNIA PŁATNA NATYCHMIAST
Dla wyprowadzenia wzoru na jednorazową składkę netto renty życiowej płatnej
natychmiast z dołu wprowadzimy następujące założenia (por. Rozdział 2.1)
a)
K - zmienna losowa oznaczająca liczbę pełnych lat życia od momentu zawarcia ubez-
pieczenia do momentu śmierci
b)
raty renty życiowej są stałe i są równe jednostce pieniężnej (1zł, 1 tys. zł, 1mln zł)
c)
w momencie zawierania umowy rentowej ubezpieczony jest w wieku x lat
d)
r - techniczna stopa procentowa (r=0,05)
e)
v = (1+r)
-1
- czynnik dyskontujący
Przyjmując wyżej zapisane założenia możemy stwierdzić, że wartość początkowa oma-
wianej renty życiowej jest kapitałem losowym określonym przez zmienną losową postaci
Yvvv
=++++ =
⏐
2
3
...
va
(3.1)
1
Kr
dla K=1,2, . . . ,w-x
gdzie:
a
K⏐
- wartość początkowa renty jednostkowej pewnej płatnej z dołu przez K lat
(por. dodatek B)
v -(1+r)
-1
- czynnik dyskontujący v+(1+r)
-1
60
K
Rozkład prawdopodobieństwa zmiennej losowej Y
1
jest związany z rozkładem dalszego
trwania życia i jest określony wzorem:
Pr (
ob Y a
1
= =
kr
) Pr (
ob K k
= =
)
kxxk
p q
+
(3.2)
dla k=0,1,2, ..., w-x.
Rozkład prawdopodobieństwa zmiennej losowej Y
1
możemy zapisać w tablicy (por. roz-
kład zmiennej losowej S
1
)
Rozkład prawdopodobieństwa zmiennej losowej Y
1
k
0
1
2
. . . .
i
. . .
w-x
y
k
a
0
r
a
1
r
a
2
r
a
ir
. . . .
a
wxr
−
P(Y
1
=y
k
)
q
x
1
p
xx+
1
2
p
xx+
. . . .
2
ixxi
pq
+
. . . .
wxxw
pq
Porównując rozkłady zmiennych losowych S
1
i Y
1
zauważmy, że
Pr (
ob Y a
= =
) Pr (
ob S v
=
k
+
1
)
(3.4)
1
1
kr
dla k=0,1,2, ..., w-x.
Korzystając z wzoru na wartość początkową pewnej renty jednostkowej (por. dodatek A)
otrzymujemy:
==
−
1
v
r
k
Ya
1
kr
a stąd
vrY v S
⋅ ⋅ = −
1
1
co daje
Y
== −
1
r
+
1
S
(3.5)
1
r
r
1
Wzór (3.5) podaje relację między zmiennymi losowymi Y
1
i S
1
oraz pozwala wyznaczyć
jednorazową składkę netto jednostkowej renty życiowej dożywotniej płatnej natychmiast z
dołu z wykorzystaniem jednorazowej składki netto dożywotniego ubezpieczenia na wypa-
dek śmierci.
61
−
⏐
aEYE
r
= = −
(
1
⎜
1
r
+
1
S
⎟
=−
+
1
r
1
A
1
(3.7)
x
r
1
r
r
x
a stąd po wprowadzeniu zależności (2.5) mamy
a
=−
+
1
r
1
⋅
M
D
x
x
(3.8)
x
r
r
gdzie:
a
- jednorazowa składka netto jednostkowej renty życiowej płatnej natychmiast
x
z dołu
Wzór (3.5) pozwala również wyznaczyć wariancję zmiennej losowej Y
1
DY D
r
2
()
= −
2
⎜
1
r
+
1
S
⎟ =
1
DS
2
()
(3.9)
1
r
1
d
2
1
gdzie: D
2
(S
1
) - oznacza wariancję jednorazowej składki netto dożywotniego ubezpieczenia
na wypadek śmierci (por. 2.14)
d - równoważna stopa dyskontowa d=r(1+r)
-1
Wzór na wartość oczekiwaną zmiennej losowej Y
1
(jednorazową składkę netto a
x
) może-
my również wyprowadzić korzystając bezpośrednio z definicji wartości oczekiwanej oraz
wzorów (3.1) i (3.2).
wx
∑
−
aEY apq
= =
(
1
x
kr
⏐
kxxk
+
(3.10)
k
=
1
,który po przekształceniach przyjmuje postać
12
−
∑
1
k
a
= p
=
v
x
k
x
(3.11)
k
Korzystając z (3.11) możemy wyprowadzić kolejny wzór na jednostkową składkę netto
renty życiowej a
x
12
Wzór (3.11) można również otrzymać traktując zmienną losową Y
1
jako sumę zmiennych losowych S
3
-
ubezpieczenia na dożycie k=0,1,2, ...,w-x lat.
62
⎞
⎛
⎛
⎞
wx
wx
−
∑ ∑
1
−
k
xk
x
l
wx
vl
vl
xk
xk
+
a
=
v
+
=
+
x
l
x
k
=
k
=
1
x
a po wprowadzeniu liczb komutacyjnych (por. wzory 2.6 - 2.9) otrzymujemy:
∑
1
−
D
D
N
D
a
x
=
xk
x
+
=
x
+
1
(3.12)
k
=
x
Wyżej przeprowadzone rozumowanie pozwala w prosty sposób wyznaczyć jedno-
razową składkę netto jednostkowej renty życiowej dożywotniej płatnej natychmiast z góry.
Renta ta określona jest przez zmienną losową
Y
&
=
1
+
v
+
v
2
+
v
3
+
.
+
v
K
=
a
(3.13)
1
K
+
1
⏐
r
dla K=0,1,2, . . . , w-x o rozkładzie prawdopodobieństwa
Pr
ob
(
Y
1
=
&
a
k
+
⏐
r
)
=
Pr
ob
(
K
=
k
)
=
k
p
x
q
x
+
k
(3.14)
dla k = 0,1,2,. . . w-x .
Porównując wzory (3.1) i (3.2) oraz (3.13) i (3.14) zauważymy prosty związek między
zmiennymi losowymi Y
1
oraz
Y
&
Y +
&
1
=
1
Y
1
(3.15)
Konsekwencją zależności (3.15) są następujące wzory:
a
x
=
E
(
Y
&
1
)
=
1
+
E
(
Y
1
)
=
1
+
a
x
(3.16)
&
a
=
1
+
1
−
r
+
1
⋅
M
x
(3.17)
x
r
r
D
x
&
a =
N
x
(3.18)
x
D
x
D
2
(
Y
)
=
D
2
(
Y
)
=
1
D
2
(
)
(3.19)
1
1
1
d
2
Dla zilustrowania rozkładu prawdopodobieństwa zmiennej losowej Y
1
sporządzono
rysunek 3.1, na którym umieszczono rozkład tej zmiennej dla przypadku mężczyzny i ko-
63
wx
&
&
1
&
&
 biety w wieku 40 lat oraz technicznej stopy procentowej r =0,05. Dane do rysunku wybra-
no z tablicy 1.1 oraz dodatku B.
Rys.3.1.JEDNOSTKOWA RENTA ŻYCIOW A
DOŻYW OTNIA PŁATNA NATYCHMIAST Z GÓRY.
ROZKŁAD PRAWDOPODOBIEŃSTWA.
Prob-Mężczyzna 40 lat
Prob-Kobieta 40 lat
0,040000
0,035000
0,030000
0,025000
0,020000
0,015000
0,010000
0,005000
0,000000
OBECNA WART OŚĆ RENT Y w t ys . zł.
W tablicy 3.1 zamieszczono wartość jednorazowej składki netto omawianej renty.
Tablica 3.1. Jednostkowa renta życiowa dożywotnia płatna natychmiast z góry.
Składka jednorazowa netto.
Wiek
MĘŻCZYZNA
KOBIETA
ubez.
w
latach
Składka
jednorazo-
wa w tys. zł
Odchylenie
standardowe
współczynnik
zmienności
Składka
jednorazowa
w tys. zł
Odchylenie
standardowe
współczynnik
zmienności
x
A
x
D
V
A
x
D
V
18
18,584
2,549
0,137
19,544
1,589
0,081
19
18,484
2,607
0,141
19,479
1,626
0,083
20
18,381
2,659
0,145
19,410
1,665
0,086
21
18,277
2,705
0,148
19,338
1,708
0,088
22
18,171
2,746
0,151
19,262
1,753
0,091
23
18,061
2,785
0,154
19,183
1,802
0,094
24
17,946
2,826
0,157
19,099
1,853
0,097
25
17,825
2,873
0,161
19,012
1,909
0,100
26
17,698
2,927
0,165
18,920
1,967
0,104
27
17,563
2,987
0,170
18,825
2,029
0,108
28
17,423
3,051
0,175
18,724
2,093
0,112
29
17,276
3,118
0,180
18,620
2,159
0,116
30
17,125
3,186
0,186
18,511
2,226
0,120
31
16,968
3,255
0,192
18,397
2,294
0,125
64
[ Pobierz całość w formacie PDF ]

  • zanotowane.pl
  • doc.pisz.pl
  • pdf.pisz.pl
  • emaginacja.xlx.pl

    •